Cho tấm tôn hình nón có bán kính đáy là \(r=\frac{2}{3}\), độ dài đường sinh l = 2. Người ta
Cho tấm tôn hình nón có bán kính đáy là \(r=\frac{2}{3}\), độ dài đường sinh l = 2. Người ta cắt theo một đường sinh và trải phẳng ra được một hình quạt. Gọi M, N thứ tự là trung điểm OA và OB. Hỏi khi cắt hình quạt theo hình chữ nhật MNPQ (hình vẽ) và tạo thành hình trụ đường sinh PN trùng MQ (2 đáy làm riêng) thì được khối trụ có thể tích bằng bao nhiêu?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Tính độ dài các đoạn thẳng MN và MQ sau đó áp dụng công thức tình thể tích hình trụ \(V=\pi {{r}^{2}}h\) .
Cách giải:
Độ dài cung AB là chu vi đường tròn đáy nên \({{l}_{\overset\frown{AB}}}=2\pi .r=2\pi \frac{2}{3}=\frac{4\pi }{3}\)
Ta có độ dài cung AB là \({{l}_{\overset\frown{AB}}}=\alpha .OA\Rightarrow \alpha =\frac{{{l}_{\overset\frown{AB}}}}{OA}=\frac{\frac{4\pi }{3}}{2}=\frac{2\pi }{3}=\widehat{AOB}\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác OAB có \(\begin{align} & AB=\sqrt{O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}-2OA.OB.\cos \frac{2\pi }{3}}=\sqrt{{{2}^{2}}+{{2}^{2}}-{{2.2}^{2}}\left( -\frac{1}{2} \right)}=2\sqrt{3} \\ & MN=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}=PQ\Rightarrow MH=\frac{1}{2}MN=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \end{align}\)
Hạ \(OD\bot MN\) ta có OD là tia phân giác của \(\widehat{AOB}\Rightarrow \widehat{AOD}={{60}^{0}}\), OD cắt AQ tại E.
Xét tam giác vuông OMH có \(OH=OM.\cos 60=1.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)
Xét tam giác OPQ có \(\cos \widehat{POQ}=\frac{O{{P}^{2}}+O{{Q}^{2}}-P{{Q}^{2}}}{2.OP.OQ}=\frac{4+4-3}{2.2.2}=\frac{5}{8}\)
Mà \(\cos \widehat{POQ}=\cos \left( 2\widehat{DOQ} \right)=2{{\cos }^{2}}\widehat{DOQ}-1=\frac{5}{8}\Leftrightarrow \cos \widehat{DOQ}=\frac{\sqrt{13}}{4}\)
Xét tam giác DOQ có \(Q{{D}^{2}}=O{{Q}^{2}}+O{{D}^{2}}-2OQ.OD\cos \widehat{DOQ}=4+4-2.2.2.\frac{\sqrt{13}}{4}=8-2\sqrt{13}\)
Xét tam giác vuông DQF có : \(D{{F}^{2}}=Q{{D}^{2}}-Q{{F}^{2}}=8-2\sqrt{13}-\frac{3}{4}=\frac{29}{4}-2\sqrt{13}\Leftrightarrow DF=\frac{\sqrt{29-8\sqrt{13}}}{2}=\frac{\sqrt{16-2.4.\sqrt{13}+13}}{2}=\frac{4-\sqrt{13}}{2}\)
\(\Rightarrow HF=OD-OH-DF=2-\frac{1}{2}-\frac{4-\sqrt{13}}{2}=\frac{4-1-4+\sqrt{13}}{2}=\frac{\sqrt{13}-1}{2}=MQ\)
Khi đó thể tích khối trụ tạo ra bởi hình chữ nhật MNPQ là
\(V=\pi .M{{H}^{2}}.MQ=\pi .{{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}.\frac{\sqrt{13}-1}{2}=\frac{3\pi \left( \sqrt{13}-1 \right)}{8}\).
Có thể tính độ dài \(MQ\) bằng cách khác như sau:
Xét tam giác \(OAE\) có :
\(\begin{align} & E{{A}^{2}}=O{{A}^{2}}+O{{E}^{2}}-2OA.OE\cos \widehat{AOE}=4+{{\left( 2+DE \right)}^{2}}-2.2.\left( 2+DE \right).\frac{1}{2} \\ & \Rightarrow E{{A}^{2}}=D{{E}^{2}}+2DE+4\text{ }\left( 1 \right) \\ \end{align}\)
Gọi \(F\) là giao điểm của \(ED\) với đường tròn tâm \(O\) bán kính \(OA=2\).
Khi đó, theo tính chất hai cát tuyến \(EQA,EDF\) ta có
\(EQ.EA=ED.EF\Rightarrow \frac{1}{2}E{{A}^{2}}=ED\left( ED+4 \right)\Leftrightarrow E{{A}^{2}}=2E{{D}^{2}}+8ED\text{ }\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) suy ra \(D{{E}^{2}}+2DE+4=2D{{E}^{2}}+8DE\Leftrightarrow D{{E}^{2}}+6DE-4=0\Leftrightarrow DE=\sqrt{13}-3\)
Do đó \(OE=OD+DE=2+\sqrt{13}-3=\sqrt{13}-1\Rightarrow MQ=\frac{1}{2}OE=\frac{\sqrt{13}-1}{2}\)
Vậy \(MQ=\frac{\sqrt{13}-1}{2}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
