Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \({{\log }_{3}}\frac{2x+y+1}{x+y}=x+2y\). Tìm giá trị nhỏ

Câu hỏi số 223317:

Vận dụng cao

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \({{\log }_{3}}\frac{2x+y+1}{x+y}=x+2y\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=\frac{1}{x}+\frac{2}{\sqrt{y}}\)

A. \(3+\sqrt{3}\)

B. \(4\)

C. \(3+2\sqrt{3}\)

D. 6

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:223317

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng để từ giả thiết suy ra mối liên hệ giữa hai biến, sau đó sử dụng phương pháp thể và khảo sát hàm số tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Giải chi tiết

Lời giải:

Ta có \({{\log }_{3}}\frac{2x+y+1}{x+y}=x+2y\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2x+y+1 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+y \right)=3\left( x+y \right)-\left( 2x+y+1 \right)+1\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2x+y+1 \right)+2x+y+1={{\log }_{3}}\left( 3\left( x+y \right) \right)+3\left( x+y \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t\) trên khoảng \(\left( 0;+\,\infty \right)\,\,\Rightarrow \,\,f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\,\infty \right).\)

Mà \(\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 2x+y+1 \right)=f\left( 3x+3y \right)\Leftrightarrow 2x+y+1=3x+3y\Leftrightarrow x+2y=1.\)

Đặt \(a=\sqrt{y}>0\Leftrightarrow y={{a}^{2}}\Leftrightarrow x=1-2y=1-2{{a}^{2}}>0\Leftrightarrow 0<a<\frac{1}{\sqrt{2}}\)

Khi đó \(T=g\left( a \right)=\frac{1}{1-2{{a}^{2}}}+\frac{2}{a}.\)

Xét hàm số \(g\left( a \right)=\frac{1}{1-2{{a}^{2}}}+\frac{2}{a}\) trên khoảng \(\left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right),\) có \({g}'\left( a \right)=-\frac{2\left( 2a-1 \right)\left( 2{{a}^{3}}-2a-1 \right)}{{{a}^{2}}{{\left( 2{{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}}.\)

Xét \(h\left( a \right)=2{{a}^{3}}-2a-1\) trên \(\left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\) có

\(h'\left( a \right)=6{{a}^{2}}-2=2\left( 3{{a}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow a=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow h'\left( a \right)<0,\forall a\in \left( -\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}} \right)\supset \left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\)

Do đó \(h\left( a \right)\) nghịch biến trên \(\left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\) \(\Rightarrow h\left( a \right)<h\left( 0 \right)=-1<0,\forall a\in \left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\) nên phương trình \(h\left( a \right)=0\) vô nghiệm trên \(\left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\).

Phương trình \({g}'\left( a \right)=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}.\) Tính các giá trị \(g\left( \frac{1}{2} \right)=6;\,\,\underset{a\,\to \,0}{\mathop{\lim }}\,g\left( a \right)=+\,\infty ;\,\,\underset{a\,\to \,\frac{1}{\sqrt{2}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( a \right)=+\,\infty \)

Suy ra \(\underset{\left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( a \right)=g\left( \frac{1}{2} \right)=6.\) Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là \({{T}_{\min }}=6.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.