Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\) có đồ thị là đường cong trong hình

Câu hỏi số 223319:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2\) có đồ thị là đường cong trong hình bên.

Hỏi phương trình \({{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2 \right)}^{3}}-3{{\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}+2=0\) có bao nhiêu nghiệm thực dương phân biệt?

A. 3

B. 5

C. 7

D. 1

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:223319

Phương pháp giải

Đặt \(t={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=f\left( x \right)\), dựa vào đồ thị hàm số đã cho tìm ra các nghiệm \({{t}_{i}}\).

Xét các phương trình \(f\left( x \right)={{t}_{i}}\), số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y={{t}_{i}}\) song song với trục hoành.

Giải chi tiết

Cách giải:

Đặt \(t={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2=f\left( x \right)\) khi đó phương trình trở thành \({{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+2=0\) và hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+2\) có hình dáng y như trên. Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( t \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=1-\sqrt{3} \\ & t=1 \\ & t=1+\sqrt{3} \\\end{align} \right.\)

Với \(t=1+\sqrt{3}\Rightarrow f\left( x \right)=1+\sqrt{3}\,\,\,\left( 1 \right)\). Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y=1+\sqrt{3}\) song song với trục hoành.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=1+\sqrt{3}\) cắt đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) tại 1 điểm có hoành độ dương duy nhất nên phương trình (1) có 1 nghiệm dương duy nhất.

Với \(t=1\Rightarrow f\left( t \right)=1\,\,\,\left( 2 \right)\). Lập luận tương tự như trên ta thấy phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Với \(t=1-\sqrt{3}\Rightarrow f\left( t \right)=1-\sqrt{3}\,\,\,\left( 3 \right)\). Phương trình 3 có 2 nghiệm dương phân biệt.

Vậy phương trình ban đầu có 5 nghiệm dương phân biệt.

Chú ý khi giải

Sau khi đặt ẩn phụ và tìm ra được 3 nghiệm t, nhiều học sinh kết luận sai lầm phương trình có 3 nghiệm phân biệt và chọn đáp án A. Số nghiệm của phương trình là số nghiệm x chứ không phải số nghiệm t.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.