Biết n là số nguyên dương thỏa mãn \(A_{n}^{3}+2A_{n}^{2}=100\). Hệ số của \({{x}^{5}}\) trong

Câu hỏi số 224834:

Vận dụng

Biết n là số nguyên dương thỏa mãn \(A_{n}^{3}+2A_{n}^{2}=100\). Hệ số của \({{x}^{5}}\) trong khai triển \({{\left( 1-3x \right)}^{2n}}\) bằng:

A. \(-{{3}^{5}}C_{10}^{5}\)

B. \(-{{3}^{5}}C_{12}^{5}\)

C. \({{3}^{5}}C_{10}^{5}\)

D. \({{6}^{5}}C_{10}^{5}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:224834

Phương pháp giải

+) Sử dụng công thức chỉnh hợp: \(A_{n}^{k}=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}\,\,\,\left( 1\le k\le n;\,\,\,k,\,\,n\in N \right)\) để giải phương trình tìm n.

+) Dựa vào khai triển để tìm hệ số của \({{x}^{5}}.\)

Giải chi tiết

Điều kiện: \(n\ge 3;\,\,n\in N.\)

Theo đề bài ta có: \(A_{n}^{3}+2A_{n}^{2}=100\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 100\\ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + \frac{{2n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 100\\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2n\left( {n - 1} \right) = 100\\ \Leftrightarrow {n^3} - 3{n^2} + 2n + 2{n^2} - 2n = 100\\ \Leftrightarrow {n^3} - {n^2} - 100 = 0\\ \Leftrightarrow n = 5\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có khai triền: \({{\left( 1-3x \right)}^{2n}}={{\left( 1-3x \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{1}^{k}}.{{\left( -3x \right)}^{10-k}}=}\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{\left( -3 \right)}^{10-k}}{{x}^{10-k}}}.\)

\(\Rightarrow \) Để có hệ số của \({{x}^{5}}\) trong khai triển thì: \(10-k=5\Leftrightarrow k=5.\)

\(\Rightarrow \) Hệ số của \({{x}^{5}}\) trong khai triển là: \(C_{10}^{5}.{{\left( -3 \right)}^{5}}=-{{3}^{5}}C_{10}^{5}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.