Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\log

Câu hỏi số 224847:

Vận dụng

Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình \(\log \frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x-5}{{{x}^{2}}+1}+{{\left( x+1 \right)}^{3}}={{x}^{2}}+6x+7\)

A. \(-2+\sqrt{3}\).

B. \(-2\).

C. 0.

D. \(-2-\sqrt{3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:224847

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(\log \frac{a}{b}=\log a-\log b\) (giả sử các biểu thức có nghĩa), đưa phương trình về dạng \(\Leftrightarrow \log \left[ {{\left( x+1 \right)}^{3}}-6\left( x+1 \right) \right]+{{\left( x+1 \right)}^{3}}-6\left( x+1 \right)=\log \left( {{x}^{2}}+1 \right)+{{x}^{2}}+1\) và xét phương trình đặc trưng \(f\left( t \right)=\log t+t\,\,\left( t>0 \right)\), chứng minh hàm số f(t) đơn điệu và sử dụng tính chất: Nếu hàm số y = f(t) đồng biến (nghịch biến) trên (a; b) thì \(f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)\Leftrightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}\).

Giải chi tiết

ĐK: \(\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x-5}{{{x}^{2}}+1}>0\Leftrightarrow {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x-5>0\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+2x-5 \right)>0\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\log \frac{{{x^3} + 3{x^2} - 3x - 5}}{{{x^2} + 1}} + {\left( {x + 1} \right)^3} = {x^2} + 6x + 7\\ \Leftrightarrow \log \left( {{x^3} + 3{x^2} - 3x - 5} \right) - \log \left( {{x^2} + 1} \right) + {\left( {x + 1} \right)^3} = {x^2} + 1 + 6x + 6\\ \Leftrightarrow \log \left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^3} - 6\left( {x + 1} \right)} \right] + {\left( {x + 1} \right)^3} - 6\left( {x + 1} \right) = \log \left( {{x^2} + 1} \right) + {x^2} + 1\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=\log t+t\,\,\left( t>0 \right)\) ta có \(f'\left( t \right)=\frac{1}{t\ln 10}+1>0\,\,\forall t>0\Rightarrow \) Hàm số y = f(t) đồng biến trên \(\left( 0;+\infty \right)\). Mà

\(\begin{array}{l}f\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^3} - 6\left( {x + 1} \right)} \right] = f\left( {{x^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^3} - 6\left( {x + 1} \right) = {x^2} + 1\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - 6x - 6 = {x^2} + 1\\ \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} - 3x - 6 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 3 \,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - \sqrt 3 \,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\,\,\end{array}\)

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình trên là \(\sqrt{3}-\sqrt{3}-2=-2\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.