Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy

Câu hỏi số 224852:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=2a\sqrt{3}\). Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng:

A. \(\frac{2a\sqrt{39}}{13}\)

B. \(\frac{a\sqrt{39}}{13}\)

C. \(\frac{2a\sqrt{3}}{13}\)

\(\frac{2a}{\sqrt{13}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:224852

Phương pháp giải

Xác định mặt phẳng (P) chứa SM và song song với AB, khi đó \(d\left( AB;SM \right)=d\left( AB;\left( P \right) \right)=d\left( A;\left( P \right) \right)\).

Giải chi tiết

Gọi E là trung diermd của CD ta có MD // AB nên AB // (SMD)

\(\Rightarrow d\left( AB;SM \right)=d\left( AB;\left( SMD \right) \right)=d\left( A;\left( SMD \right) \right)\)

Trong (ABC) kẻ \(AF//BC\Rightarrow AF\bot AB\Rightarrow AF\bot ME\,\,\left( F\in ME \right)\) ta có :\(\left\{ \begin{align} & ME\bot AF \\ & ME\bot SA \\\end{align} \right.\Rightarrow ME\bot \left( SAF \right)\)

Trong (SAF) kẻ \(AH\bot SF\,\,\left( H\in SF \right)\Rightarrow AH\bot ME\)

\(\Rightarrow AH\bot \left( SME \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SME \right) \right)=AH\)

Dễ thấy ABEF là hình chữ nhật nên \(AF=BE=\frac{1}{2}BC=a\)

\(SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot AF\Rightarrow \Delta SAF\) vuông tại A

\(\Rightarrow AH=\sqrt{\frac{S{{A}^{2}}.A{{F}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{F}^{2}}}}=\sqrt{\frac{12{{a}^{2}}.{{a}^{2}}}{12{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{2a\sqrt{39}}{13}\)

Vậy \(d\left( AB;SM \right)=\frac{2a\sqrt{39}}{13}\)

Chọn A.

Chú ý khi giải

Trong không gian, không nên kẻ đường vuông góc một cách tùy ý mà nên dựa vào các yếu tố song song hoặc vuông góc có sẵn trong đề bài.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.