Cho tứ diện đều cạnh \(a,\) điểm \(I\) nằm trong tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ \(I\)
Cho tứ diện đều cạnh \(a,\) điểm \(I\) nằm trong tứ diện. Tính tổng khoảng cách từ \(I\) đến tất cả các mặt của tứ diện.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Chứng minh tổng khoảng cách từ \(I\) đến các mặt chính là độ dài đường cao của tứ diện.
Tính độ dài đường cao để suy ra tổng khoảng cách.
Giả sử \(ABCD\) là tứ diện đều và \(I\) là một điểm trong tứ diện. Gọi \(H\) là trọng tâm của tam giác \(BCD.\) Do \(ABCD\) là tứ diện đều nên \(AH\) là đường cao của tứ diện. Theo giả thiết và theo công thức tính thể tích của tứ diện ta có
\(\begin{array}{l}{V_{ABCD}} = {V_{IABC}} + {V_{IABD}} + {V_{IBCD}} + {V_{IACD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right){S_{ABC}} + \dfrac{1}{3}d\left( {I,\left( {ABD} \right)} \right){S_{ABD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \dfrac{1}{3}d\left( {I,\left( {BCD} \right)} \right){S_{BCD}} + \dfrac{1}{3}d\left( {I,\left( {ACD} \right)} \right){S_{ACD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}\left[ {d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) + d\left( {I,\left( {ABD} \right)} \right) + d\left( {I,\left( {BCD} \right)} \right) + d\left( {I,\left( {ACD} \right)} \right)} \right]{S_{BCD}}.\end{array}\)
Mặt khác ta lại có \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}AH.{S_{BCD}}.\) Do đó tổng khoảng cách \(d = AH.\) Kéo theo \(d = AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
