Cho ba số thực dương \(x,\,y,\,z\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với

Câu hỏi số 225142:

Vận dụng

Cho ba số thực dương \(x,\,y,\,z\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực dương \(a\,\left( {a \ne 1} \right)\) thì \({\log _a}x,\,\,{\log _{\sqrt a }}y,\,{\log _{\sqrt[3]{a}}}z\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức \(P = \dfrac{{1959x}}{y} + \dfrac{{2019y}}{z} + \dfrac{{60z}}{x}.\)

A. \(\dfrac{{2019}}{2}.\)

B. \(60.\)

C. \(2019.\)

D. \(4038.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:225142

Phương pháp giải

Bước 1. Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân và \(d\) là công sai của cấp số cộng. Sử dụng giả thiết để thiết lập một hệ phương trình về mối liên hệ giữa \(x,y,z\) và \(q\) và một hệ giữa \({\log _a}x,\,\,{\log _a}y,\,\,{\log _a}z\) và \(d.\) Sử dụng các kết quả này để chứng minh \(q = 1.\)

Bước 2. Khi \(q = 1\) thì \(x = y = z.\) Thay vào biểu thức để nhận được giá trị cần tính.

Giải chi tiết

Bước 1. Gọi \(q\) là công bội của cấp số nhân và \(d\) là công sai của cấp số cộng. Khi đó theo giả thiết ta có hệ cho cấp số nhân \(\left\{ \begin{array}{l}y = qx\\z = qy = {q^2}x\end{array} \right.\,\left( 1 \right),\) và hệ cho cấp số cộng \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _{\sqrt a }}y = {\log _a}x + d\\{\log _{\sqrt[3]{a}}}z = {\log _{\sqrt a }}y + d\end{array} \right.\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 2 \right)\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}{\log _{\sqrt a }}y = {\log _a}x + d\\{\log _{\sqrt[3]{a}}}z = {\log _{\sqrt a }}y + d\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\log _a}y = {\log _a}x + d\\3{\log _a}z = {\log _{\sqrt a }}y + d = {\log _a}x + 2d\end{array} \right.\,\,\left( 3 \right).\)

Thay \(\left( 1 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}2{\log _a}\left( {qx} \right) = {\log _a}x + d\\3{\log _a}\left( {{q^2}x} \right) = {\log _a}x + 2d\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{\log _a}x + 2{\log _a}q = {\log _a}x + d\\3{\log _a}x + 6{\log _a}q = {\log _a}x + 2d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 2{\log _a}q + {\log _a}x\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\\6{\log _a}q + 2{\log _a}x = 2d\,\,\,\left( 5 \right)\end{array} \right..\,\)

Thay \(\left( 4 \right)\) vào \(\left( 5 \right)\) ta nhận được \({\log _a}q = 0 \Leftrightarrow q = 1.\)

Bước 2. Thay \(q = 1\) vào \(\left( 1 \right)\) ta nhận được \(x = y = z.\) Do đó

\(P = \dfrac{{1959x}}{y} + \dfrac{{2019y}}{z} + \dfrac{{60z}}{x} = 1959 + 2019 + 60 = 4038.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.