Cho khai triển \(P\left( x \right) = \left( {1 + x} \right)\left( {1 + 2x} \right)...\left( {1 + 2017x} \right) =

Câu hỏi số 225225:

Vận dụng cao

Cho khai triển \(P\left( x \right) = \left( {1 + x} \right)\left( {1 + 2x} \right)...\left( {1 + 2017x} \right) = {a_0} + {a_1}x + .... + {a_{2017}}{x^{2017}}.\) Tính \(T = {a_2} + \dfrac{1}{2}\left( {{1^2} + {2^2} + ... + {{2017}^2}} \right).\)

A. \({\left( {\dfrac{{2016.2017}}{2}} \right)^2}.\)

B. \({\left( {\dfrac{{2017.2018}}{2}} \right)^2}.\)

C. \(\dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{{2016.2017}}{2}} \right)^2}.\)

D. \(\dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{{2017.2018}}{2}} \right)^2}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:225225

Phương pháp giải

Tìm giá trị của \({a_2}.\) Sử dụng công thức

\({\left( {{a_1} + {a_2} + ... + {a_n}} \right)^2} = \sum\limits_{1 \le i \le n} {a_i^2 + 2\sum\limits_{1 \le i < j \le n} {{a_i}{a_j}} } \) để tính giá trị của \(T.\)

Giải chi tiết

Ta có \({a_2}\) là hệ số của \({x^2}\) trong khai triển của \(P\left( x \right).\) Do đó \({a_2}\) bằng tổng của các tích có dạng \(i.j,\,\,1 \le i < j \le 2017.\) Cụ thể \({a_2} = \sum\limits_{1 \le i < j \le 2017} {{\rm{ij}}.} \) Do đó

\(\begin{align} T={{a}_{2}}+\frac{1}{2}\left( {{1}^{2}}+{{2}^{2}}+...+{{2017}^{2}} \right)\, \\ \,\,\,\,\,=\sum\limits_{1\le i<j\le 2017}{\text{ij}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }+\frac{1}{2}\sum\limits_{1\le i\le 2017}{{{i}^{2}}}=\frac{1}{2}{{\left( \sum\limits_{1\le i\le 2017}{i} \right)}^{2}}=\frac{1}{2}{{\left( \frac{2017.2018}{2} \right)}^{2}} \\\end{align}\)

Chú ý khi giải

Điểm mấu chốt của bài toán này là tính được cụ thể \({a_2}\) và dùng công thức khai triển bình phương của tổng. Tuy nhiên tổng ở đây có \(n\) số nên công thức khai triển có vẻ không quen thuộc với nhiều học sinh.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.