Cho hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\x - my = 1 + m\end{array} \right.\). Giá trị

Câu hỏi số 225513:

Vận dụng cao

Cho hệ phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\x - my = 1 + m\end{array} \right.\). Giá trị thích hợp của tham số m để biểu thức \(P = xy\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(m = 1\)

B. \( m = -1\)

C. \( m = \frac{1}{3}\)

D. \(m = - \frac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:225513

Phương pháp giải

+ Tính các định thức : D, D_x, D_y

+ Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là D ≠ 0\(\rightarrow x = \frac{{{D_x}}}{D};y = \frac{{{D_y}}}{D}\)

+ Tính giá trị lớn nhất của \(P = x.y\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}D = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{ - 1}\\1&{ - m}\end{array}} \right| = - {m^2} + 1 = \left( {1 - m} \right)\left( {1 + m} \right)\\{D_x} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2m}&{ - 1}\\{m + 1}&{ - m}\end{array}} \right| = - 2{m^2} + m + 1 = \left( {2m + 1} \right)\left( {1 - m} \right)\\{D_y} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}m&{2m}\\1&{m + 1}\end{array}} \right| = {m^2} - m = m\left( {m - 1} \right)\end{array}\)

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\leftrightarrow D \ne 0\) \(\Leftrightarrow - {m^2} + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Rightarrow x = \frac{{{D_x}}}{D} = \frac{{2m + 1}}{{m + 1}}\\y = \frac{{{D_y}}}{D} = \frac{{ - m}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Khi đó: \(P = x.y = \frac{{ - m(2m + 1)}}{{{{(m + 1)}^2}}} = \frac{{ - 2\left( {{m^2} + 2m + 1} \right)}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} + \frac{{3\left( {m + 1} \right)}}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = - 2 + \frac{3}{{m + 1}} - \frac{1}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}\)

Đặt \(\frac{1}{{m + 1}} = t \Rightarrow \frac{1}{{{{\left( {m + 1} \right)}^2}}} = {t^2} \Rightarrow P = - 2 + 3t - {t^2} = - {\left( {t - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4} \Rightarrow {P_{\max }} = \frac{1}{4}\)

Dấu “ = ’’ xảy ra \(\Leftrightarrow t = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{{m + 1}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{3}\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.