Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{n - 2} + C_{2n

Câu hỏi số 226111:

Vận dụng

Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{n - 2} + C_{2n + 1}^{n - 1} + C_{2n + 1}^n = {2^{20}} - 1\) là:

A. \(n = 8\)

B. \(n = 9\)

C. \(n = 10\)

D. \(n = 11\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:226111

Phương pháp giải

+) Xuất phát từ khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0{a^{2n + 1}} + C_{2n + 1}^1{a^{2n}}b + C_{2n + 1}^2{a^{2n - 1}}{b^2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}a{b^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{b^{2n + 1}}\)

+) Thay \(a,b\) bằng các giá trị thích hợp để tính giá trị biểu thức VT.

+) Giải phương trình để tìm \(n\)

Giải chi tiết

Áp dụng tính chất \(C_n^k = C_n^{n - k}\) ta có:

\(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{n - 2} + C_{2n + 1}^{n - 1} + C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n - 1} + C_{2n + 1}^{2n - 2} + ... + C_{2n + 1}^{n + 3} + C_{2n + 1}^{n + 2} + C_{2n + 1}^{n + 1}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0{a^{2n + 1}} + C_{2n + 1}^1{a^{2n}}b + C_{2n + 1}^2{a^{2n - 1}}{b^2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}a{b^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{b^{2n + 1}}\)

Thay \(a = 1,b = 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}
{2^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1}\\
\Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = 1 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n} + 1\\
\Leftrightarrow {2^{2n + 1}} - 2 = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có:

\(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{n - 2} + C_{2n + 1}^{n - 1} + C_{2n + 1}^n = \dfrac{1}{2}\left( {{2^{2n + 1}} - 2} \right) = {2^{2n}} - 1\)

Kết hợp với giả thiết ta có: \({2^{2n}} - 1 = {2^{20}} - 1 \Leftrightarrow 2n = 20 \Leftrightarrow n = 10\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.