Tính tích phân \(\int\limits_1^{\sqrt 6 + \sqrt 2 } {\frac{{ - 4{x^4} + {x^2} - 3}}{{{x^4} + 1}}} dx =

Câu hỏi số 227167:

Vận dụng cao

Tính tích phân \(\int\limits_1^{\sqrt 6 + \sqrt 2 } {\frac{{ - 4{x^4} + {x^2} - 3}}{{{x^4} + 1}}} dx = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( {a\sqrt 3 + b + c\pi } \right) + 4\) với a, b, c là các số nguyên. Khi đó biểu thức \(a + {b^2} + {c^4}\) có giá trị bằng

A. \(20\)

B. \(241\).

C. \(196\)

D. \(48\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:227167

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp dùng tích phân phụ. Dạng toán này khá khó. Khi làm bài cần chú ý chọn tích phân phụ hợp lý để có thể tính được tích phân tính.

Sau đó áp dụng các phương pháp tính tích phân để tính.

Giải chi tiết

Ta có: \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ - 4{x^4} + {x^2} - 3}}{{{x^4} + 1}}dx} = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\left( { - 4 + \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}} \right)} dx = - 4\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {dx} + \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}} dx = I + J\)

Tính\(I = - 4\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {dx} = \left. { - 4x} \right|_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} = - 2\sqrt 6 - 2\sqrt 2 + 4\).

Tính\(J = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}} dx = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}}}} dx = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2} + 2}}} dx\)

Đặt \(t = x - \frac{1}{x} \Rightarrow dt = \left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx\). Đổi cận:\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2} \Rightarrow t = \sqrt 2\end{array} \right.\)

Khi đó: \(J = \int\limits_0^{\sqrt 2 } {\frac{{dt}}{{{t^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}} \)

Đặt : \(t = \sqrt 2 \tan u \Rightarrow dt = \sqrt 2 \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du.\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow u = 0\\t = \sqrt 2 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\)

Suy ra: \(J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sqrt 2 \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)}}{{2\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)}}} du = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {du} = \left. {\frac{{\sqrt 2 }}{2}u} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\pi .\)

Vậy \(\int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ - 4{x^4} + {x^2} - 3}}{{{x^4} + 1}}dx} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( { - 16\sqrt 3 - 16 + \pi } \right) + 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = - 16\\c = 1\end{array} \right.\)

Vậy \(a + {b^2} + {c^4} = 241\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.