Cho \(0<x<y<1\). Đặt \(m=\frac{1}{y-x}\left( \ln \frac{y}{1-y}-\ln \frac{x}{1-x} \right)\). Mệnh đề
Cho \(0<x<y<1\). Đặt \(m=\frac{1}{y-x}\left( \ln \frac{y}{1-y}-\ln \frac{x}{1-x} \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Biến đổi biểu thức đã cho theo \(m\) sau đó xét hàm đặc trưng và đánh giá các trường hợp xảy ra theo \(m\).
Ta có \(m=\frac{1}{y-x}\left( \ln \frac{y}{1-y}-\ln \frac{x}{1-x} \right)\,\,\left( * \right)\) với \(0<x<y<1\).
+) Xét hàm \(f\left( t \right) = \ln \dfrac{t}{{1 - t}}\,\,\left( {0 < t < 1} \right)\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\left( {1 - t} \right)}^2}}}}}{{\dfrac{t}{{1 - t}}}} = \dfrac{1}{{t\left( {1 - t} \right)}} > 0\,\,\forall t \in \left( {0;1} \right)\).
\(\Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left( 0;1 \right)\)nên với \(y>x\) thì \(f\left( y \right)>f\left( x \right)\)\(\Leftrightarrow \ln \frac{y}{1-y}-\ln \frac{x}{1-x}>0\)\(\Rightarrow \frac{1}{y-x}\left( \ln \frac{y}{1-y}-\ln \frac{x}{1-x} \right)\,\,>0\Rightarrow m>0\).
+) Ta có \(\left( * \right)\Rightarrow \ln \frac{y}{1-y}-\ln \frac{x}{1-x}=my-mx\Leftrightarrow mx-\ln \frac{x}{1-x}=my-\ln \frac{y}{1-y}\).(1)
Xét hàm đặc trưng \(g\left( u \right)=mu-\ln \frac{u}{1-u},\,\,0<u<1\).
Ta có \({g}'\left( u \right)=m-\frac{1}{u\left( 1-u \right)}=\frac{-m{{u}^{2}}+mu-1}{u\left( 1-u \right)}=\frac{h\left( u \right)}{u\left( 1-u \right)}\).
Vì \(m>0\)(cmt) nên \(h\left( u \right)\) là tam thức bậc hai và vì \(0<u<1\) nên \(u\left( 1-u \right)>0\)\(\Rightarrow \) dấu của \({g}'\left( u \right)\) là dấu của \(h\left( u \right)\).
Nếu \({{\Delta }_{h\left( u \right)}}\le 0\) \(\Rightarrow h\left( u \right)\le 0\Rightarrow {g}'\left( u \right)\le 0\) hay \(g\left( u \right)\) là hàm nghịch biến trên \(\left( 0;1 \right)\)nên \(g\left( x \right)=g\left( y \right)\Leftrightarrow x=y\)(mâu thuẫn giả thiết \(x<y\)).
Nên (1) chỉ xảy ra khi \(h\left( u \right)\) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( 0;1 \right)\).
Xét phương trình \(h\left( u \right)=0\Leftrightarrow -m{{u}^{2}}+mu-1=0\Leftrightarrow mu\left( 1-u \right)=1\Leftrightarrow m=\frac{1}{u\left( 1-u \right)}\) (2) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( 0;1 \right)\).
Xét \(\varphi \left( u \right)=\frac{1}{u\left( 1-u \right)},\,0<u<1\) có \({\varphi }'\left( u \right)=\frac{2u-1}{{{\left( u-{{u}^{2}} \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow u=\frac{1}{2}\left( TM \right)\).
BBT của \(\varphi \left( u \right)\) trên \(\left( 0;1 \right)\).
Từ BBT để (2) có hai nghiệm phân biệt thuộc \(\left( 0;1 \right)\) thì \(m>4\).
Đây là một trong những bài khó trong đề, các em cần vận dụng tốt các kiến thức về hàm số, tam thức bậc hai và đánh giá các trường hợp.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
