Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), tâm \(O\), đường cao
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), tâm \(O\), đường cao \(AA'\); \(SO=2a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc đoạn \(OA'\text{ }\left( M\ne A';M\ne O \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(AA'\). Đặt \(AM=x\). Tính diện tích \(S\) của thiết diện tạo bởi \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp \(S.ABC\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác
Vì S.ABC là hình chóp đều nên \(SO\bot \left( ABC \right)\)
(O là tâm của tam giác ABC).
Do đó \(SO\bot AA'\) mà \(\left( \alpha \right)\bot AA'\) suy ra \(SO\parallel \left( \alpha \right)\).
Tương tự ta cũng có \(BC\parallel \left( \alpha \right)\)
Qua M kẻ \(IJ\parallel BC\) với \(I\in AB,\text{ }J\in AC\); kẻ \(MN\parallel SO\) với \(N\in SA'.\)
Qua N kẻ \(EF\parallel BC\) với \(E\in SB,\text{ }F\in SC\).
Khi đó thiết diện là hình thang IJFE.
Diện tích hình thang \({{S}_{IJEF}}=\frac{1}{2}\left( IJ+EF \right)MN\).
Tam giác ABC, có \(\frac{IJ}{BC}=\frac{AM}{AA'}\Rightarrow IJ=\frac{AM.BC}{AA'}=\frac{x.a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2x\sqrt{3}}{3}.\)
Tam giác SBC, có \(\frac{EF}{BC}=\frac{SN}{SA'}=\frac{OM}{OA'}\Rightarrow EF=\frac{OM.BC}{OA'}=\frac{\left( x-\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)a}{\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=2\left( x\sqrt{3}-a \right).\)
Tam giác SOA’, có \(\frac{MN}{SO}=\frac{MA'}{OA'}\Rightarrow MN=\frac{SO.MA'}{OA'}=\frac{2a.\left( \frac{a\sqrt{3}}{2}-x \right)}{\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}}=2\left( 3a-2x\sqrt{3} \right).\)
Vậy
\(\begin{align} & {{S}_{IJEF}}=\frac{1}{2}MN\left( EF+IJ \right)=\frac{1}{2}.2\left( 3a-2x\sqrt{3} \right)\left( \frac{2x\sqrt{3}}{3}+2\left( x\sqrt{3}-a \right) \right) \\ & =\frac{2}{3}\left( 4x\sqrt{3}-3a \right)\left( 3a-2x\sqrt{3} \right)=-2\left( 8{{x}^{2}}-6\sqrt{3}ax+3{{a}^{2}} \right). \\\end{align}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
