Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA\bot \left( ABCD \right)\)và SA = 2a. Gọi B’,

Câu hỏi số 228976:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA\bot \left( ABCD \right)\)và SA = 2a. Gọi B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.

A. \(\frac{8{{a}^{3}}}{45}\)

B. \(\frac{{{12}^{3}}}{45}\)

C. \(\frac{16{{a}^{3}}}{45}\)

D. \(\frac{4{{a}^{3}}}{45}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:228976

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tỉ số thể tích: Cho chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ ta có \(\frac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA'}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}\)

Giải chi tiết

Gọi \(O=AC\cap BD\), trong (SBD) gọi \(K=B'D'\cap SO\), trong (SAC) gọi \(C'=AK\cap SC\Leftrightarrow SC\cap \left( AB'D' \right)=C'\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AB'\\\left\{ \begin{array}{l}AB' \bot BC\\AB' \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AB' \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB' \bot SC\end{array}\)

Tương tự ta chứng minh được \(AD'\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( AB'C'D' \right)\Rightarrow AC'\bot SC\)

Xét tam giác vuông SAB ta có \(\frac{SB'}{SB}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\frac{4{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{4}{5}\)

Xét tam giác vuông SAD ta có \(\frac{SD'}{SD}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{D}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\frac{4{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{4}{5}\)

Ta có: \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}\)

Xét tam giác vuông SAC ta có \(\frac{SC'}{SC}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\frac{4{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=\frac{2}{3}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{4}{5}.\frac{2}{3} = \frac{8}{{15}} \Rightarrow {V_{S.AB'C'}} = \frac{8}{{15}}{V_{S.ABC}} = \frac{4}{{15}}{V_{S.ABCD}}\\\frac{{{V_{S.AC'D'}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SC'}}{{SC}}.\frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{2}{3}.\frac{4}{5} = \frac{8}{{15}} \Rightarrow {V_{S.AC'D'}} = \frac{8}{{15}}{V_{S.ACD}} = \frac{4}{{15}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{S.AB'C'D'}} = \frac{8}{{15}}{V_{S.ABCD}}\end{array}\)

Mà \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}2a.{{a}^{2}}=\frac{2}{3}{{a}^{3}}\Rightarrow {{V}_{S.AB'C'D'}}=\frac{8}{15}.\frac{1}{3}{{a}^{3}}=\frac{16{{a}^{3}}}{45}\)

Chú ý khi giải

Tỉ số thể tích trên chỉ áp dụng cho chóp tam giác, không áp dụng cho chóp tứ giác. Nhiều học sinh có cách giải sai như sau :\(\frac{{{V}_{S.AB'C'D'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}.\frac{SD'}{SD}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.