Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA\bot \left( ABCD \right)\)và SA = 2a. Gọi B’,
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, \(SA\bot \left( ABCD \right)\)và SA = 2a. Gọi B’, C’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Áp dụng công thức tỉ số thể tích: Cho chóp tam giác S.ABC, trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ ta có \(\frac{{{V}_{S.A'B'C'}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA'}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}\)
Gọi \(O=AC\cap BD\), trong (SBD) gọi \(K=B'D'\cap SO\), trong (SAC) gọi \(C'=AK\cap SC\Leftrightarrow SC\cap \left( AB'D' \right)=C'\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AB'\\\left\{ \begin{array}{l}AB' \bot BC\\AB' \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AB' \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AB' \bot SC\end{array}\)
Tương tự ta chứng minh được \(AD'\bot SC\Rightarrow SC\bot \left( AB'C'D' \right)\Rightarrow AC'\bot SC\)
Xét tam giác vuông SAB ta có \(\frac{SB'}{SB}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\frac{4{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{4}{5}\)
Xét tam giác vuông SAD ta có \(\frac{SD'}{SD}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{D}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{D}^{2}}}=\frac{4{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=\frac{4}{5}\)
Ta có: \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=2{{a}^{2}}\)
Xét tam giác vuông SAC ta có \(\frac{SC'}{SC}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\frac{4{{a}^{2}}}{4{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=\frac{2}{3}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\frac{{{V_{S.AB'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SB'}}{{SB}}.\frac{{SC'}}{{SC}} = \frac{4}{5}.\frac{2}{3} = \frac{8}{{15}} \Rightarrow {V_{S.AB'C'}} = \frac{8}{{15}}{V_{S.ABC}} = \frac{4}{{15}}{V_{S.ABCD}}\\\frac{{{V_{S.AC'D'}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SC'}}{{SC}}.\frac{{SD'}}{{SD}} = \frac{2}{3}.\frac{4}{5} = \frac{8}{{15}} \Rightarrow {V_{S.AC'D'}} = \frac{8}{{15}}{V_{S.ACD}} = \frac{4}{{15}}{V_{S.ABCD}}\\ \Rightarrow {V_{S.AB'C'D'}} = \frac{8}{{15}}{V_{S.ABCD}}\end{array}\)
Mà \({{V}_{S.ABCD}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{1}{3}2a.{{a}^{2}}=\frac{2}{3}{{a}^{3}}\Rightarrow {{V}_{S.AB'C'D'}}=\frac{8}{15}.\frac{1}{3}{{a}^{3}}=\frac{16{{a}^{3}}}{45}\)
Tỉ số thể tích trên chỉ áp dụng cho chóp tam giác, không áp dụng cho chóp tứ giác. Nhiều học sinh có cách giải sai như sau :\(\frac{{{V}_{S.AB'C'D'}}}{{{V}_{S.ABCD}}}=\frac{SB'}{SB}.\frac{SC'}{SC}.\frac{SD'}{SD}\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
