Kết luận nào sau đây đúng về nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - y}

Câu hỏi số 229236:

Vận dụng

Kết luận nào sau đây đúng về nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\quad \;\left( 1 \right)\\\sqrt {x - 2} + \sqrt {2 - y} = {x^2} - 6x + 11\quad \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\quad \;\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Hệ phương trình vô nghiệm.

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

D. Hệ phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:229236

Phương pháp giải

+) Biến đổi tương đương phương trình (1) để đưa về dạng phương trình tích.

+) Sau đó, thế vào phương trình (2)

Giải chi tiết

ĐK: \(y\le 2\le x\)

Từ phương trình (1) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2} + 3} \right) = 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2}y + x{y^2} + 3x - {x^2}y - x{y^2} - {y^3} - 3y = 3{x^2} + 3{y^2} + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} + 3x - {y^3} - 3y = 3{x^2} + 3{y^2} + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {y^3} + 3{y^2} + 3y + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^3} = {\left( {y + 1} \right)^3}\\ \Leftrightarrow x - 1 = y + 1\\ \Leftrightarrow y = x - 2\end{array}\)

Với \(y=x-2\) thay vào phương trình (2) ta có \(\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}={{x}^{2}}-6x+11\)

Điều kiện \(2\le x\le 4\).

Ta có VP = \({{x}^{2}}-6x+11={{\left( x-3 \right)}^{2}}+2\ge 2\)(*)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopki cho hai bộ số \(\left( 1;1 \right),\left( \sqrt{x-2},\sqrt{4-x} \right)\) ta có:

\({{\left( 1.\sqrt{x-2}+1.\sqrt{4-x} \right)}^{2}}\le \left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\left[ {{\left( \sqrt{x-2} \right)}^{2}}+{{\left( \sqrt{4-x} \right)}^{2}} \right]=4\Leftrightarrow \sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}\le 2\,\,\,\,\left( ** \right)\)

Từ (*) và (**) ta có dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

\(\frac{{\sqrt {x - 2} }}{1} = \frac{{\sqrt {4 - x} }}{1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le 4\\\sqrt {x - 2} = \sqrt {4 - x} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 \le x \le 4\\x - 2 = 4 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 3\,\,\left( {tm} \right) \Rightarrow y = 1\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( x;y \right)\) là \(\left( 3;1 \right)\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.