Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Mệnh đề nào sau đây là sai ?

Câu 230840: Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Mệnh đề nào sau đây là sai ?

A. \(OA \bot BC.\)

B. \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}.\)

C. H là trực tâm của tam giácABC.

D. \(3\,O{H^2} = A{B^2} + A{C^2} + B{C^2}.\)

Câu hỏi : 230840

Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đáp án : D
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC.\) Do đó A đúng.

Gọi \(I = AH \cap BC.\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Theo giả thiết ta có \(OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC.\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\), suy ra \(BC \bot \left( {AOI} \right) \Rightarrow BC \bot OI.\)

Tam giác vuông \(BOC,\) ta có \(\frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}.\)

Tam giác vuông \(AOI,\) ta có \(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}.\) Do đó B đúng.

= Từ chứng minh trên \(BC \bot \left( {AOI} \right) \Rightarrow BC \bot AI.\) \(\left( 3 \right)\)

Gọi \(J = BH \cap AC.\) Chứng minh tương tự ta có \(AC \bot BJ\). \(\left( 4 \right)\)

Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\), suy ra H là trực tâm \(\Delta ABC.\) Do đó C đúng.

Vậy D là đáp án sai.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.