Chứng minh rằng với mọi a, b: a) \(2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge {{\left( a+b \right)}^{2}}.\)

Câu hỏi số 230905:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi a, b:

a) \(2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge {{\left( a+b \right)}^{2}}.\) b) \({{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab.\)

c) \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ca.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:230905

Phương pháp giải

+) Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức đã cho.

+) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu và sử dụng các hằng đẳng thức.

+) Nhân với cùng một số dương thì bất đẳng thức không đổi chiều.

+) Cộng cả 2 vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều.

Giải chi tiết

\(\begin{align} & a)\ \ 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\ge {{\left( a+b \right)}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}}\ge {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0\ \ \forall \ \ a,b. \\ \end{align}\)

\(\begin{align} & b)\ \ {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\ge 4ab \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0\ \ \ \forall \ a,\ b. \\ \end{align}\)

\(c)\ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ca.\)

Ta có hằng đẳng thức: \({{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab.\ \ \ \left( 1 \right)\)

Tương tự ta có: \({{a}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2ac.\ \ \ \left( 2 \right)\)

\({{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge 2bc.\ \ \ \left( 3 \right)\)

Cộng vế với vế của (1); (2) và (3) với nhau ta được:

\(\begin{align} & \ \ \ \ \ 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 2ab+2bc+2ca \\ & \Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+bc+ca.\ \ \ \ \left( dpcm \right) \\ \end{align}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link