Cho \(a>b>0\) hãy chứng tỏ rằng:. a)

Câu hỏi số 230906:

Vận dụng

Cho \(a>b>0\) hãy chứng tỏ rằng:.

a) \(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\). b) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:230906

Phương pháp giải

+) Nhân cả hai vế với một số dương bất đẳng thức không đổi chiều

Giải chi tiết

a) Ta có \(a>b>0\Rightarrow ab>0\Leftrightarrow \frac{1}{ab}>0\)

Với bất đẳng thức \(a>b\) nhân cả hai vế của bất đẳng thức với \(\frac{1}{ab}\) ta được:

\(a.\frac{1}{ab}>b.\frac{1}{ab}\Leftrightarrow \frac{1}{b}>\frac{1}{a}\Leftrightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}\) .(đpcm)

\(\begin{align} & b)\ \ \ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b} \\ & \Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}\ge \frac{4}{a+b} \\ & \Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab\ \ \ \ \left( do\ \ a+b>0;\ \ \ ab>0 \right) \\ \end{align}\)

Áp dụng ý b) của bài 2 ta thấy \({{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab\ \ \forall \ a,b.\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\) luôn đúng.

Chú ý khi giải

Ta có kết quả tổng quát hơn : “Nếu \(a>b\) thì \(\left[ \begin{align} & \frac{1}{a}<\frac{1}{b}\Leftrightarrow ab>0 \\ & \frac{1}{a}>\frac{1}{b}\Leftrightarrow ab<0 \\ \end{align} \right.\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link