Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), các cạnh bên của hình chóp bằng

Câu hỏi số 231181:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng \(2a\). Tính khoảng cách \(d\) từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SCD \right)\).

\(d=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{30}}.\)

\(d=\frac{2a\sqrt{7}}{\sqrt{30}}.\)

\(d=\frac{a}{2}.\)

D. \(d=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231181

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm của đáy, suy ra \(SO\bot \left( ABCD \right)\).

Ta có

\(\begin{array}{l}AO \cap \left( {SCD} \right) = C \Rightarrow \frac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{AC}}{{OC}} = 2\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right).\end{array}\)

Gọi \(J\) là trung điểm \(CD\), suy ra \(OJ\bot CD\).

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SJ\), suy ra \(OK\bot SJ\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OJ\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOJ} \right) \Rightarrow CD \bot OK\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow OK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( O;\left( SCD \right) \right)=OK\frac{SO.OJ}{\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{J}^{2}}}}\)

Ta có : \(SO=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}}}=\sqrt{4{{a}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{14}}{2}\Rightarrow OK=\frac{\frac{a\sqrt{14}}{2}.\frac{a}{2}}{\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{14}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{30}}\)

Vậy \(d\left( A;\left( SCD \right) \right)=2.OK=\frac{2a\sqrt{7}}{\sqrt{30}}.\)

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.