Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(BC=a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 231192:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(BC=a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, góc \(\widehat{SCA}=\widehat{BSC}={{30}^{0}}\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\). Tính khoảng cách từ \(D\) đến mặt phẳng \(\left( SAM \right)\).

\(\frac{a}{\sqrt{3}}.\)

\(\frac{2a}{\sqrt{3}}.\)

\(\frac{a}{3}.\)

D. \(\frac{2a}{\sqrt{3}}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231192

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Giải chi tiết

Đặt \(AB=x\Rightarrow AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}\Rightarrow \)\(SA=AC.\tan \widehat{SCA}=\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}{3}}.\)

Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại B, có \(SB=\frac{BC}{\tan \widehat{BSC}}=a\sqrt{3}.\)

Tam giác SAB vuông tại A, có \(S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}=S{{B}^{2}}\).

\(\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}{3}+{{x}^{2}}=3{{a}^{2}}\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}=8{{a}^{2}}\Leftrightarrow x=a\sqrt{2}.\)

Kẻ \(DH\bot AM\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot DH\\AM \bot DH\end{array} \right. \Rightarrow DH \bot \left( {SAM} \right)\).

\(\Rightarrow d\left( D;\left( SAM \right) \right)=DH\)

Xét \(\Delta AMD\) vuông tại \(D\), có \(\frac{1}{D{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{D}^{2}}}+\frac{1}{M{{D}^{2}}}=\frac{3}{{{a}^{2}}}\).

\(\Rightarrow DH=\frac{a}{\sqrt{3}}\Rightarrow d\left( D;\left( SAM \right) \right)=\frac{a}{\sqrt{3}}\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.