Cho \(a,\,b \ge 1\). Khi đó, bất đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu hỏi số 231445:

Nhận biết

A. \(a\sqrt {b - 1} + b\sqrt {a - 1} \le ab\)

B. \(a\sqrt {b - 1} + b\sqrt {a - 1} \le {1 \over 2}ab\)

C. \(a\sqrt {b - 1} + b\sqrt {a - 1} \ge ab\)

D. \(a\sqrt {b - 1} + b\sqrt {a - 1} \ge {1 \over 2}ab\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231445

Phương pháp giải

Nhân thêm hệ số thích hợp và sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm \(\sqrt {ab} \le {{a + b} \over 2}\)

Giải chi tiết

\(\sqrt {b - 1} = \sqrt {\left( {b - 1} \right).1} \le {{\left( {b - 1} \right) + 1} \over 2} = {b \over 2}\,\,\,\,\left( * \right)\)

Nhân hai vế của (*) với \(a > 0\) ta có \(a\sqrt {b - 1} \le {{ab} \over 2}\) (1)

Chứng minh tương tự ta có: \(b\sqrt {a - 1} \le {{ab} \over 2}\) (2)

Cộng vế với vế của (1) với (2) ta được: \(a\sqrt {b - 1} + b\sqrt {a - 1} \le ab\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ b - 1 = 1 \hfill \cr a - 1 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ b = 2 \hfill \cr a = 2 \hfill \cr} \right.\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.