Với \(a,b,c > 0\) thỏa mãn điều kiện \(ab + bc + ca = 3\). Khi đó, biểu thức \(S = \sqrt {{a^6} + {b^6} + 1} + \sqrt {{b^6} + {c^6} + 1} + \sqrt {{c^6} + {a^6} + 1} \) đạt giá trị nhỏ nhất là:

Câu 231447: Với \(a,b,c > 0\) thỏa mãn điều kiện \(ab + bc + ca = 3\). Khi đó, biểu thức \(S = \sqrt {{a^6} + {b^6} + 1} + \sqrt {{b^6} + {c^6} + 1} + \sqrt {{c^6} + {a^6} + 1} \) đạt giá trị nhỏ nhất là:

A. \(3\sqrt 2 \)

B. \(2\sqrt 3 \)

C. \(3\sqrt 3 \)

D. \(\sqrt 3 \)

Câu hỏi : 231447

Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số hạng chứa trong dấu căn. Sau đó cộng vế với vế các bất đẳng thức thu được.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số \({a^6},{b^6}\) và 1, ta có

\({a^6} + {b^6} + 1 \ge 3\root 3 \of {{a^6}.{b^6}.1} = 3{a^2}{b^2} \Leftrightarrow \sqrt {{a^6} + {b^6} + 1} \ge \sqrt 3 |ab| = \sqrt 3 ab\).

Tương tự ta có : \(\sqrt {{b^6} + {c^6} + 1} \ge \sqrt 3 bc;\,\,\,\sqrt {{c^6} + {a^6} + 1} \ge \sqrt 3 ac\).

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có

\(\sqrt {{a^6} + {b^6} + 1} + \sqrt {{b^6} + {c^6} + 1} + \sqrt {{c^6} + {a^6} + 1} \ge {\rm{ }}\sqrt 3 ab + \sqrt 3 bc + \sqrt 3 ac = \sqrt 3 \left( {ab + bc + ca} \right) = 3\sqrt 3 \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây