Với \(a,b,c > 0\) thỏa mãn điều kiện \(ab + bc + ca = 3\). Khi đó, biểu thức \(S = \sqrt {{a^6} +

Câu hỏi số 231447:

Thông hiểu

Với \(a,b,c > 0\) thỏa mãn điều kiện \(ab + bc + ca = 3\). Khi đó, biểu thức \(S = \sqrt {{a^6} + {b^6} + 1} + \sqrt {{b^6} + {c^6} + 1} + \sqrt {{c^6} + {a^6} + 1} \) đạt giá trị nhỏ nhất là:

A. \(3\sqrt 2 \)

B. \(2\sqrt 3 \)

C. \(3\sqrt 3 \)

D. \(\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231447

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số hạng chứa trong dấu căn. Sau đó cộng vế với vế các bất đẳng thức thu được.

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số \({a^6},{b^6}\) và 1, ta có

\({a^6} + {b^6} + 1 \ge 3\root 3 \of {{a^6}.{b^6}.1} = 3{a^2}{b^2} \Leftrightarrow \sqrt {{a^6} + {b^6} + 1} \ge \sqrt 3 |ab| = \sqrt 3 ab\).

Tương tự ta có : \(\sqrt {{b^6} + {c^6} + 1} \ge \sqrt 3 bc;\,\,\,\sqrt {{c^6} + {a^6} + 1} \ge \sqrt 3 ac\).

Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta có

\(\sqrt {{a^6} + {b^6} + 1} + \sqrt {{b^6} + {c^6} + 1} + \sqrt {{c^6} + {a^6} + 1} \ge {\rm{ }}\sqrt 3 ab + \sqrt 3 bc + \sqrt 3 ac = \sqrt 3 \left( {ab + bc + ca} \right) = 3\sqrt 3 \).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10