Cho \(a,b\) là hai số dương và \(a < b\). Câu nào sau đây sai?

Câu hỏi số 231453:

Vận dụng

A. \(\sqrt {ab} \le {{a + b} \over 2}\).

B. \({2 \over {{1 \over a} + {1 \over b}}} < \sqrt {ab} \)

C. \({{a + b} \over 2} < b\)

D. \({2 \over {{1 \over a} + {1 \over b}}} \ge {{a + b} \over 2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231453

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp loại trừ

Giải chi tiết

Với \(a,b\) là hai số dương ta có \(\sqrt {ab} \le {{a + b} \over 2}\) (bất đẳng thức Cauchy). Loại A.

Với \(a,b\) là hai số dương và \(a < b\), ta có : \({{a + b} \over 2} < {{b + b} \over 2} = {{2b} \over 2} = b \Rightarrow {{a + b} \over 2} < b\). Loại C

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \({1 \over a}\) và \({1 \over b}\) ta có: \({1 \over a} + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{1 \over {ab}}} \)

Do \(a < b\) nên không có điều kiện để dấu \('' = ''\) xảy ra do đó ta có

\({1 \over a} + {1 \over b} > 2\sqrt {{1 \over {ab}}} \Leftrightarrow {1 \over a} + {1 \over b} > {2 \over {\sqrt {ab} }} \Leftrightarrow {1 \over {{1 \over a} + {1 \over b}}} < {{\sqrt {ab} } \over 2} \Leftrightarrow {2 \over {{1 \over a} + {1 \over b}}} < \sqrt {ab} \). Loại đáp án B

Chúng ta cùng giải thích xem vì sao bất đẳng thức ở đáp án D lại sai?

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(a\) và \(b\) ta có \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \({1 \over a}\) và \({1 \over b}\) ta có \({1 \over a} + {1 \over b} \ge 2\sqrt {{1 \over {ab}}} \) (2)

Nhân vế với vế của (1) và (2) ta có: \(\left( {a + b} \right)\left( {{1 \over a} + {1 \over b}} \right) \ge 4 \Leftrightarrow {1 \over a} + {1 \over b} \ge {4 \over {a + b}}\)

Do \(a < b\) nên không xảy ra dấu \('' = ''\) ở (1) và (2), nên ta có:

\({1 \over a} + {1 \over b} > {4 \over {a + b}} \Leftrightarrow {1 \over {{1 \over a} + {1 \over b}}} < {{a + b} \over 4}\) (nghịch đảo hai vế) \( \Leftrightarrow {2 \over {{1 \over a} + {1 \over b}}} < {{a + b} \over 2}\)

Vậy \({2 \over {{1 \over a} + {1 \over b}}} \ge {{a + b} \over 2}\) là bất đẳng thức sai.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.