Với \(x \ge 2\), giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x + {1 \over x}\) là:

Câu hỏi số 231458:

Vận dụng

A. \({7 \over 2}\)

B. \({5 \over 2}\)

C. 1

D. 2

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231458

Phương pháp giải

Nếu không để ý đến điều kiện \(x \ge 2\) hoặc không hiểu đúng tầm quan trọng của điều kiện \(x \ge 2\), có thể dẫn đến sai lầm sau:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có \(P = x + {1 \over x} \ge 2\) (1)

Dẫn đến việc chọn phương án D là phương án gây nhiễu.

Giải chi tiết

Chúng ta có hai cách làm ứng với từng trường hợp phân tích như trên:

Cách 1:

Áp dụng BĐT Cô-si cho \({1 \over 4}x > 0\) và \({1 \over x} > 0\) ta có: \(\,{1 \over 4}x + {1 \over x} \ge 2\sqrt {{1 \over 4}x.{1 \over x}} \Rightarrow {1 \over 4}x + {1 \over x} \ge 1\)

Ta có: \(x \ge 2 \Leftrightarrow {3 \over 4}x \ge {3 \over 4}.2 = {3 \over 2} \Rightarrow P = \left( {{1 \over 4}x + {1 \over x}} \right) + {3 \over 4}x \ge 1 + {3 \over 2} \Rightarrow P \ge {5 \over 2}\)

Cách 2:

Áp dụng BĐT Cô-si cho \(x > 0\) và \({4 \over x} > 0\) ta có: \(x + {4 \over x} \ge 2\sqrt {x.{4 \over x}} \Rightarrow x + {4 \over x} \ge 4\)

Ta có: \(x \ge 2 \Leftrightarrow {3 \over x} \le {3 \over 2} \Leftrightarrow - {3 \over x} \ge - {3 \over 2}\)

\( \Rightarrow P = \left( {x + {4 \over x}} \right) - {3 \over x} \ge 4 - {3 \over 2} \Rightarrow P \ge {5 \over 2}\)

Chú ý khi giải

Dấu = ở (1) xảy ra khi \(x = {1 \over x} \Leftrightarrow x = 1\) (không thỏa mãn điều kiện bài cho \(x \ge 2\).

Vậy phương pháp giải dạng toán này như nào?

Đối với dạng toán này, trước tiên chúng ta dự đoán điều kiện xảy ra dấu = dựa vào điều kiện bài cho. Với điều kiện \(x \ge 2\) ta dự đoán dấu = xảy ra khi \(x = 2\)

Với điều kiện xảy ra dấu “=” là x = 2, chúng ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương nào?

TH1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương \({1 \over x}\) và \({x \over 4}\). Khi đó, ta có cách tách sau: \(P = \left( {{1 \over 4}x + {1 \over x}} \right) + {3 \over 4}x\)

TH2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương \(x\) và \({4 \over x}\). Khi đó, ta có cách tách sau: \(P = \left( {x + {4 \over x}} \right) - {3 \over x}\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10