Cho \(a,\,b,\,c > 0;\,a + b + c = 3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {3a + b} + \sqrt

Câu hỏi số 231464:

Vận dụng

Cho \(a,\,b,\,c > 0;\,a + b + c = 3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {3a + b} + \sqrt {3b + c} + \sqrt {3c + a} \) là:

A. \(3\sqrt 7 \)

B. 5

C. 6

D. 8

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231464

Phương pháp giải

Để sử dụng được giả thiết a + b + c = 3, ta cần đánh giá làm mất từng dấu căn thức trong biểu thức S. Ta sử dụng bất đẳng thức \(\sqrt {ab} \le {{a + b} \over 2}\) như sau: \(\sqrt {3a + b} = {1 \over {\sqrt \alpha }}\sqrt {\left( {3a + b} \right).\alpha } = {1 \over {\sqrt \alpha }}.{{3a + b + \alpha } \over 2}\).

Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(3a + b = \alpha \)

Tương tự với \(\sqrt {3b + c} \) và \(\sqrt {3c + a} \)

Vấn đề đặt ra là làm thế nào ta tìm được hệ số \(\alpha \) ?

Dựa vào giả thiết \(a + b + c = 3\) và nhận xét biểu thức S có tính chất đối xứng đối với các biến \(a,b,c\) nên ta dự đoán dấu = xảy ra khi \(a = b = c = 1\).

Suy ra \(3a + b = 4\). Do đó \(\alpha = 4\).

Giải chi tiết

\(\sqrt {3a + b} = {1 \over 2}.\sqrt {\left( {3a + b} \right).4} \le {1 \over 2}.{{\left( {3a + b} \right) + 4} \over 2} = {1 \over 4}.(3a + b + 4)\)

Tương tự: \(\sqrt {3b + c} \le {1 \over 4}.(3b + c + 4)\) và \(\sqrt {3c + a} \le {1 \over 4}.(3c + a + 4)\)

\( \Rightarrow S = \sqrt {3a + b} + \sqrt {3b + c} + \sqrt {3c + a} \le {1 \over 4}\left[ {4\left( {a + b + c} \right) + 12} \right]\)

Vì a + b + c = 3 nên ta có \(S \le 6\)

\(\,Max\,S = 6 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3a + b = 4 \cr 3b + c = 4 \hfill \cr 3c + a = 4 \cr a + b + c = 3 \cr} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.