Cho \(a,\,b,\,c > 0;\,a + b + c = 3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {3a + b} + \sqrt {3b + c} + \sqrt {3c + a} \) là:
Câu 231464: Cho \(a,\,b,\,c > 0;\,a + b + c = 3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {3a + b} + \sqrt {3b + c} + \sqrt {3c + a} \) là:
A. \(3\sqrt 7 \)
B. 5
C. 6
D. 8
Để sử dụng được giả thiết a + b + c = 3, ta cần đánh giá làm mất từng dấu căn thức trong biểu thức S. Ta sử dụng bất đẳng thức \(\sqrt {ab} \le {{a + b} \over 2}\) như sau: \(\sqrt {3a + b} = {1 \over {\sqrt \alpha }}\sqrt {\left( {3a + b} \right).\alpha } = {1 \over {\sqrt \alpha }}.{{3a + b + \alpha } \over 2}\).
Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(3a + b = \alpha \)
Tương tự với \(\sqrt {3b + c} \) và \(\sqrt {3c + a} \)
Vấn đề đặt ra là làm thế nào ta tìm được hệ số \(\alpha \) ?
Dựa vào giả thiết \(a + b + c = 3\) và nhận xét biểu thức S có tính chất đối xứng đối với các biến \(a,b,c\) nên ta dự đoán dấu = xảy ra khi \(a = b = c = 1\).
Suy ra \(3a + b = 4\). Do đó \(\alpha = 4\).
-
Đáp án : C(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\sqrt {3a + b} = {1 \over 2}.\sqrt {\left( {3a + b} \right).4} \le {1 \over 2}.{{\left( {3a + b} \right) + 4} \over 2} = {1 \over 4}.(3a + b + 4)\)
Tương tự: \(\sqrt {3b + c} \le {1 \over 4}.(3b + c + 4)\) và \(\sqrt {3c + a} \le {1 \over 4}.(3c + a + 4)\)
\( \Rightarrow S = \sqrt {3a + b} + \sqrt {3b + c} + \sqrt {3c + a} \le {1 \over 4}\left[ {4\left( {a + b + c} \right) + 12} \right]\)
Vì a + b + c = 3 nên ta có \(S \le 6\)
\(\,Max\,S = 6 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3a + b = 4 \cr 3b + c = 4 \hfill \cr 3c + a = 4 \cr a + b + c = 3 \cr} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com