Cho \(a,\,b,\,c > 0;\,a + b + c = 3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {3a + b} + \sqrt

Câu hỏi số 231464:

Vận dụng

Cho \(a,\,b,\,c > 0;\,a + b + c = 3\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = \sqrt {3a + b} + \sqrt {3b + c} + \sqrt {3c + a} \) là:

A. \(3\sqrt 7 \)

B. 5

C. 6

D. 8

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231464

Phương pháp giải

Để sử dụng được giả thiết a + b + c = 3, ta cần đánh giá làm mất từng dấu căn thức trong biểu thức S. Ta sử dụng bất đẳng thức \(\sqrt {ab} \le {{a + b} \over 2}\) như sau: \(\sqrt {3a + b} = {1 \over {\sqrt \alpha }}\sqrt {\left( {3a + b} \right).\alpha } = {1 \over {\sqrt \alpha }}.{{3a + b + \alpha } \over 2}\).

Dấu \('' = ''\) xảy ra khi \(3a + b = \alpha \)

Tương tự với \(\sqrt {3b + c} \) và \(\sqrt {3c + a} \)

Vấn đề đặt ra là làm thế nào ta tìm được hệ số \(\alpha \) ?

Dựa vào giả thiết \(a + b + c = 3\) và nhận xét biểu thức S có tính chất đối xứng đối với các biến \(a,b,c\) nên ta dự đoán dấu = xảy ra khi \(a = b = c = 1\).

Suy ra \(3a + b = 4\). Do đó \(\alpha = 4\).

Giải chi tiết

\(\sqrt {3a + b} = {1 \over 2}.\sqrt {\left( {3a + b} \right).4} \le {1 \over 2}.{{\left( {3a + b} \right) + 4} \over 2} = {1 \over 4}.(3a + b + 4)\)

Tương tự: \(\sqrt {3b + c} \le {1 \over 4}.(3b + c + 4)\) và \(\sqrt {3c + a} \le {1 \over 4}.(3c + a + 4)\)

\( \Rightarrow S = \sqrt {3a + b} + \sqrt {3b + c} + \sqrt {3c + a} \le {1 \over 4}\left[ {4\left( {a + b + c} \right) + 12} \right]\)

Vì a + b + c = 3 nên ta có \(S \le 6\)

\(\,Max\,S = 6 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3a + b = 4 \cr 3b + c = 4 \hfill \cr 3c + a = 4 \cr a + b + c = 3 \cr} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10