Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 23175:

Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{x}{\sqrt{y^{2}+1}}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+1}}$

A. min P = $\frac{1}{\sqrt{5}}$

B. min P = $\frac{2}{\sqrt{5}}$

C. min P = $\frac{3}{\sqrt{5}}$

D. min P = $\frac{4}{\sqrt{5}}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:23175

Giải chi tiết

Ta có: x+y=1 <=> y=1-x

Thay vào P ta được: $P=\frac{x}{\sqrt{(1-x)^{2}+1}}+\frac{1-x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ với 0<x<1

f'(x) = $P=\frac{1}{\sqrt{(1-x)^{2}+1}}+\frac{x(1-x)}{\sqrt{[(1-x)^{2}+1]^{3}}}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}-\frac{x(1-x)}{\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}}$

Ta có: $f'(\frac{1}{2})=0$

Với $\frac{1}{2}$ < x < 1 ta có: 0< (1-x)² + 1 < x² +1 nên: $\frac{1}{\sqrt{(1-x)^{2}+1}}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}>0$ và $\frac{x(1-x)}{\sqrt{[(1-x)^{2}+1]^{3}}}-\frac{x(1-x)}{\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}}>0$

do đó: f'(x) > 0

Tương tự: 0<x< $\frac{1}{2}$ ta có: f'(x) < 0

Vậy x = $\frac{1}{2}$ là nghiệm duy nhất của f'(x) = 0 trên (0;1)

Ta có bảng biến thiên của f(x) trên (0;1) (hs tự lập)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra min P = $\frac{2}{\sqrt{5}}$ khi x = y = $\frac{1}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.