Cho \(\Delta ABC\), vẽ ra phía ngoài của hai tam giác đều \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\). Gọi I là
Cho \(\Delta ABC\), vẽ ra phía ngoài của hai tam giác đều \(\Delta ABE\) và \(\Delta ACF\). Gọi I là trung điểm của BC, H là trực tâm của \(\Delta ABE\). Trên tia đối của của tia IH lấy điểm K sao cho \(HI=IK\). Chứng minh:
a) \(\Delta AHF=\Delta CKF.\)
b) \(\Delta KHF\) là tam giác đều.
Quảng cáo
+) Áp dụng tính chất tam giác cân, tam giác đều.
+) Tính chất 3 đường cao của tam giác, tính chất tia phân giác của 1 góc.
a) Vì I là trung điểm của BC (gt) \(\Rightarrow IB=IC\) (tính chất trung điểm)
Xét \(\Delta BIH\) và \(\Delta CIK\) có:
\(\widehat{HIB}=\widehat{CIK}\) (đối đỉnh)
\(\begin{align} & IB=IC\left( cmt \right) \\ & HI=IK\left( gt \right) \\ & \Rightarrow \Delta BIH=\Delta CIK\left( c-g-c \right) \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow BH=CK\) (2 cạnh tương ứng) và \(\widehat{HBI}=\widehat{KCI}\) (2 góc tương ứng).
Vì \(\Delta ABE\) là tam giác đều (gt) \(\Rightarrow \widehat{ABE}={{60}^{0}}\) (tính chất tam giác đều).
Mà BH là đường cao (gt) suy ra BH cũng là đường phân giác của \(\widehat{EBA}\Rightarrow \widehat{HBA}=\frac{\widehat{EBA}}{2}={{30}^{0}}\) (tính chất tia phân giác)
Ta có: \(\widehat{HBI}={{30}^{0}}+\widehat{ABC}\Rightarrow \widehat{KCI}={{30}^{0}}+\widehat{ABC}\)
Lại có: \(\widehat{KCF}+\widehat{ACF}+\widehat{ACB}+\widehat{ICK}={{360}^{0}}\)
\(\begin{align} & \Rightarrow \widehat{KCF}={{360}^{0}}-\widehat{ACF}-\widehat{ACB}-\widehat{ICK}={{360}^{0}}-{{60}^{0}}-\widehat{ACB}-{{30}^{0}}-\widehat{ABC} \\ & ={{270}^{0}}-\left( \widehat{ACB}+\widehat{ABC} \right)={{270}^{0}}-\left( {{180}^{0}}-\widehat{BAC} \right)={{90}^{0}}+\widehat{BAC}\left( 1 \right) \\ \end{align}\)
Vì \(\Delta ABE\) là tam giác đều (gt) \(\Rightarrow \widehat{EAB}={{60}^{0}}\) (tính chất tam giác đều).
Mà AH là đường cao (gt) suy ra AH cũng là đường phân giác của \(\widehat{EAB}\Rightarrow \widehat{HAB}=\frac{\widehat{EAB}}{2}={{30}^{0}}\) (tính chất tia phân giác)
Vì \(\Delta ACF\) là tam giác đều (gt) \(\Rightarrow \widehat{CAF}={{60}^{0}}\) (tính chất tam giác đều)
Ta có: \(\widehat{FAH}=\widehat{HAB}+\widehat{FAC}+\widehat{BAC}={{60}^{0}}+{{30}^{0}}+\widehat{BAC}={{90}^{0}}+\widehat{BAC}\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\Rightarrow \widehat{KCF}=\widehat{FAH}\) .
Vì \(\widehat{HBA}=\widehat{HAB}={{30}^{0}}\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta ABH\) cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
\(\Rightarrow AH=BH\)(tính chất tam giác cân).
Mà \(BH=CK\left( cmt \right)\Rightarrow AH=CK\)
Xét \(\Delta AHF\) và \(\Delta CKF\) có:
AH = CK (cmt)
\(\widehat{KCF}=\widehat{FAH}\left( cmt \right)\)
AF = CF (vì \(\Delta ACF\) là tam giác đều)
\(\Rightarrow \Delta AHF=\Delta CKF\left( c-g-c \right)\). (đpcm)
b) Ta có: \(\Delta AHF=\Delta CKF\left( cmt \right)\Rightarrow HF=KF\) (2 cạnh tương ứng).
\(\Rightarrow \Delta KHF\) cân tại F. (dấu hiệu nhận biết tam giác cân). (4)
Ta có: \(\Delta AHF=\Delta CKF\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{HFA}=\widehat{CFK}\) (2 góc tương ứng).
Mà \(\widehat{HFA}+\widehat{HFC}=\widehat{CFA}={{60}^{0}}\)(\(\Delta ACF\) đều) \(\Rightarrow \widehat{HFK}=\widehat{HFC}+\widehat{FCK}={{60}^{0}}\left( 5 \right)\)
Từ \(\left( 4 \right)\left( 5 \right)\Rightarrow \Delta KHF\) là tam giác đều.
Tham Gia Group Dành Cho Lớp 7 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
