Cho \(\Delta ABC\), qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện chúng

Câu hỏi số 232335:

Thông hiểu

Cho \(\Delta ABC\), qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện chúng cắt nhau tạo thành \(\Delta DEF\). Chứng minh rằng các đường cao của \(\Delta ABC\) là các đường trung trực của \(\Delta DEF\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:232335

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song, dấu hiệu nhận biết đường trung trực.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
DE//BC\\
DF//AC
\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {{A_1}} = \widehat {ABC}\\
\widehat {{B_1}} = \widehat {BAC}
\end{array} \right.\left( {SLT} \right)\)

Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta BCA\) có:

\(\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{ABC}\left( cmt \right)\)

AB chung

\(\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{BAC}\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \Delta ADB=\Delta BCA\left( c-g-c \right)\Rightarrow AD=BC\left( 1 \right)\) (2 cạnh tương ứng)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
DE//BC\\
EF//AC
\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {{A_2}} = \widehat {ACB}\\
\widehat {ACB} = \widehat {BAC}
\end{array} \right.\left( {SLT} \right)\)

Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta CBA\) có:

\(\widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{ACB}\left( cmt \right)\)

AC chung

\(\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{BAC}\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \Delta AEC=\Delta CBA\left( c-g-c \right)\Rightarrow AE=BC\left( 2 \right)\) (2 cạnh tương ứng)

Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\Rightarrow AD=AE\Rightarrow \) A là trung điểm của DE.

Gọi AH là đường cao của \(\Delta ABC\Rightarrow AH\bot BC\) mà \(BC//DE\Rightarrow AH\bot DE\).

Mặt khác, A là trung điểm của DE nên AH là đường trung trực của DE. (*)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
AB//FE\\
DF//AC
\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ABC} = \widehat {BCF}\\
\widehat {ACB} = \widehat {FBC}
\end{array} \right.\left( {SLT} \right)\)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta FCB\) có:

\(\widehat{ABC}=\widehat{BCF}\left( cmt \right)\)

BC chung

\(\widehat{CBF}=\widehat{ACB}\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \Delta ABC=\Delta FCB\left( c-g-c \right)\Rightarrow AB=FC\left( 3 \right)\) (2 cạnh tương ứng)

Lại có \(\Delta AEC = \Delta CBA\left( {cmt} \right) \Rightarrow AB = EC\left( 4 \right)\)(2 cạnh tương ứng)

Từ \(\left( 3 \right)\left( 4 \right)\Rightarrow EC=FC\Rightarrow \) C là trung điểm của EF.

Gọi CK là đường cao của \(\Delta ABC\Rightarrow CK\bot BA\) mà \(AB//FE\Rightarrow CK\bot FE\)

Mặt khác, C là trung điểm của FE nên CK là đường trung trực của FE. (**)

Vì \(\Delta ADB=\Delta BCA\left( cmt \right)\Rightarrow AC=BD\) (2 cạnh tương ứng)

Lại có: \(\Delta ABC=\Delta FCB\left( cmt \right)\Rightarrow AC=BF\) (2 cạnh tương ứng)

Suy ra \(BD=BF\Rightarrow \) B là trung điểm của DF.

Gọi BI là đường cao của \(\Delta ABC\Rightarrow BI\bot AC\) mà \(AC//DF\Rightarrow BI\bot DF\).

Mặt khác, B là trung điểm của DF nên BI là đường trung trực của DF. (***)

Từ (*)(**)(***) suy ra các đường cao của \(\Delta ABC\) chính là các đường trung trực của \(\Delta DFE\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link