Cho các số \(a,b>1\) thỏa mãn \({{\log }_{2}}a+{{\log }_{3}}b=1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu hỏi số 233114:

Vận dụng

Cho các số \(a,b>1\) thỏa mãn \({{\log }_{2}}a+{{\log }_{3}}b=1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\sqrt{{{\log }_{3}}a}+\sqrt{{{\log }_{2}}b}\) bằng

A. \(\sqrt{{{\log }_{2}}3+{{\log }_{3}}2}\)

B. \(\sqrt{{{\log }_{3}}2}+\sqrt{{{\log }_{2}}3}\)

C. \(\frac{1}{2}\left( {{\log }_{2}}3+{{\log }_{3}}2 \right)\)

D. \(\frac{2}{\sqrt{{{\log }_{2}}3+{{\log }_{3}}2}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:233114

Phương pháp giải

Sử dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: \({{\left( ax+by \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\)

Giải chi tiết

Với \(a,b>1\);

\({{\log }_{2}}a+{{\log }_{3}}b=1\)

\(\begin{align} & {{P}^{2}}={{\left( \sqrt{{{\log }_{3}}a}+\sqrt{{{\log }_{2}}b} \right)}^{2}}={{\left( \sqrt{{{\log }_{3}}2.{{\log }_{2}}a}+\sqrt{{{\log }_{2}}3.{{\log }_{3}}b} \right)}^{2}} \\ & \ \ \ \ \le \left( {{\log }_{3}}2+{{\log }_{2}}3 \right)\left( {{\log }_{2}}a+{{\log }_{3}}b \right)\le \left( {{\log }_{3}}2+{{\log }_{2}}3 \right). \\ \end{align}\)

Vậy \(P\le \sqrt{{{\log }_{3}}2+{{\log }_{2}}3}\)

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.