Tính tích phân \(I=\int\limits_{2}^{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{x\sqrt{{{x}^{2}}-3}}dx}\) ta được :

Câu hỏi số 233211:

Thông hiểu

A. \(I=\pi \)

B. \(I=\frac{\pi }{6}\)

C. \(I=\frac{\pi }{3}\)

D. \(I=\frac{\pi }{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:233211

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}-3}\), sau đó tính tích phân đã cho và sử dung phương pháp đổi biến một lần nữa, khi xuất hiện dạng \(\frac{1}{{{t}^{2}}+{{a}^{2}}}\) ta đặt \(t=a\tan \alpha \)

Giải chi tiết

Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}-3}\Leftrightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}-3\Leftrightarrow tdt=xdx\) và \({{x}^{2}}={{t}^{2}}+3\)

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 \Leftrightarrow t = 1\\x = 2\sqrt 3 \Leftrightarrow t = 3\end{array} \right.\), khi đó ta có :

\(I=\int\limits_{2}^{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}xdx}{{{x}^{2}}\sqrt{{{x}^{2}}-3}}}=\int\limits_{1}^{3}{\frac{\sqrt{3}tdt}{\left( {{t}^{2}}+3 \right)t}}=\sqrt{3}\int\limits_{1}^{3}{\frac{dt}{{{t}^{2}}+3}}\)

Đặt \(t=\sqrt{3}\tan \alpha \Leftrightarrow dt=\frac{\sqrt{3}}{{{\cos }^{2}}\alpha }d\alpha =\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}\alpha \right)d\alpha \)

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}t = 1 \Leftrightarrow \frac{\pi }{6}\\t = 3 \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{3}\end{array} \right.\) , khi đó ta có : \(I=\sqrt{3}\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}\alpha \right)d\alpha }{3{{\tan }^{2}}\alpha +3}}=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{d\alpha }=\left. \alpha \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{\pi }{6}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.