Tính tích phân \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{\sin 3x}dx}\) được kết

Câu hỏi số 233223:

Vận dụng cao

Tính tích phân \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{\sin 3x}dx}\) được kết quả \(I=\frac{1}{a}ln\left| b+\sqrt{3}c \right|\) với \(a,b,c\in Z\) . Giá trị của \(a+2b+3c\) là:

A. 2

B. 3

C. 8

D. 5

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:233223

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức \(\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{\sin 3x}\), sau đó sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t=\cos x\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{\sin 3x}=\dfrac{{{\sin }^{2}}x}{3\sin x-4{{\sin }^{3}}x}=\dfrac{\sin x}{3-4{{\sin }^{2}}x}=\dfrac{\sin x}{3-4\left( 1-{{\cos }^{2}}x \right)}=\dfrac{\sin x}{4{{\cos }^{2}}x-1}\)

Khi đó ta có : \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\dfrac{\sin x}{4{{\cos }^{2}}x-1}dx}\)

Đặt \(t=\cos x\) ta có : \(dt=-\sin xdx\)

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{6} \Leftrightarrow t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{2} \Leftrightarrow t = 0\end{array} \right.\) , khi đó ta có :

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}^0 {\dfrac{{ - dt}}{{4{t^2} - 1}}} = \int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\dfrac{{dt}}{{\left( {2t + 1} \right)\left( {2t - 1} \right)}}} \\\,\,\,\, = \dfrac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\left( {\dfrac{1}{{2t - 1}} - \dfrac{1}{{2t + 1}}} \right)dt} \\\,\,\,\, = \left. {\dfrac{1}{4}\ln \left| {\dfrac{{2t - 1}}{{2t + 1}}} \right|} \right|_0^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} = \dfrac{1}{4}\ln \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\end{array}\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 2\\c = - 1\end{array} \right. \Rightarrow a + 2b + 3c = 5\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.