Giả sử rằng \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\tan xdx}{1+{{\cos }^{2}}x}}=m\ln \frac{3}{2}\). Tìm giá

Câu hỏi số 233222:

Vận dụng cao

Giả sử rằng \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\tan xdx}{1+{{\cos }^{2}}x}}=m\ln \frac{3}{2}\). Tìm giá trị của m.

A. m = 1

B. \(m=\frac{1}{2}\)

C. \(m=\frac{2}{3}\)

D. \(m=-\frac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:233222

Phương pháp giải

Đặt \(\cos x=\tan a\)

Giải chi tiết

Đặt \(\cos x=\tan a\Leftrightarrow -\sin xdx=\left( 1+{{\tan }^{2}}a \right)da\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow a = \frac{\pi }{4}\\x = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow a = \arctan \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\), khi đó ta có: \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\tan xdx}{1+{{\cos }^{2}}x}}=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\arctan \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{-\left( 1+{{\tan }^{2}}a \right)da}{\tan a\left( 1+{{\tan }^{2}}a \right)}}=\int\limits_{\arctan \frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\cos ada}{\sin a}}\)

Đặt \(u=\sin a\Leftrightarrow du=\cos ada\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{\pi }{4} \Leftrightarrow u = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\a = \arctan \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow u = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\) , khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} {\frac{{du}}{u}} = \left. {\ln u} \right|_{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} = \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \ln \frac{{\sqrt 3 }}{3} = \ln \frac{{\sqrt 6 }}{2} = \frac{1}{2}\ln {\left( {\frac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\ln \frac{3}{2}\\ \Rightarrow m = \frac{1}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.