Tìm số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \({{\log }_{a}}2017+\frac{1}{{{2}^{2}}}{{\log

Câu hỏi số 234081:

Vận dụng

Tìm số nguyên dương \(n\) thỏa mãn

\({{\log }_{a}}2017+\frac{1}{{{2}^{2}}}{{\log }_{\sqrt{a}}}2017+\frac{1}{{{2}^{4}}}{{\log }_{\sqrt[4]{a}}}2017+\frac{1}{{{2}^{6}}}{{\log }_{\sqrt[8]{a}}}2017+\ldots +\frac{1}{{{2}^{2n}}}{{\log }_{\sqrt[{{2}^{n}}]{a}}}2017\)\(={{\log }_{a}}{{2017}^{2}}-\frac{{{\log }_{a}}2017}{{{2}^{2018}}}\), với \(0<a\ne 1\)

A. \(n=2016\).

B. \(n=2018\).

C. \(n=2017\).

D. \(n=2019\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:234081

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức biến đổi loga

\({{\log }_{{{a}^{n}}}}b=\frac{1}{n}{{\log }_{a}}b,{{\log }_{a}}\left( b.c \right)={{\log }_{a}}b+{{\log }_{a}}c\).

Giải chi tiết

Ta có : \(VT={{\log }_{a}}2017+\frac{1}{{{2}^{2}}}{{\log }_{\sqrt{a}}}2017+\frac{1}{{{2}^{4}}}{{\log }_{\sqrt[4]{a}}}2017+\frac{1}{{{2}^{6}}}{{\log }_{\sqrt[8]{a}}}2017+\ldots +\frac{1}{{{2}^{2n}}}{{\log }_{\sqrt[{{2}^{n}}]{a}}}2017\)

\(={{\log }_{a}}2017+\frac{1}{2}{{\log }_{a}}2017+\frac{1}{{{2}^{2}}}{{\log }_{a}}2017+\frac{1}{{{2}^{3}}}{{\log }_{a}}2017+\ldots +\frac{1}{{{2}^{n}}}{{\log }_{a}}2017\)

\(=\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\ldots +\frac{1}{{{2}^{n}}} \right).{{\log }_{a}}2017=\frac{1-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}.{{\log }_{a}}2017=\frac{{{2}^{n+1}}-1}{{{2}^{n}}}.{{\log }_{a}}2017\)

\(VP=2{{\log }_{a}}2017-\frac{1}{{{2}^{2018}}}.{{\log }_{a}}2017=\left( 2-\frac{1}{{{2}^{2018}}} \right).{{\log }_{a}}2017=\frac{{{2}^{2019}}-1}{{{2}^{2018}}}.{{\log }_{a}}2017\)

Do đó \(\frac{{{2}^{n+1}}-1}{{{2}^{n}}}=\frac{{{2}^{2019}}-1}{{{2}^{2018}}}\)\(\Leftrightarrow n=2018\).

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.