Cho \(x,y\) là hai số thực thoả mãn điều kiện \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+4=4y+3x\). Tìm giá trị lớn

Câu hỏi số 234082:

Vận dụng cao

Cho \(x,y\) là hai số thực thoả mãn điều kiện \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+4=4y+3x\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=3\left( {{x}^{3}}-{{y}^{3}} \right)+20{{x}^{2}}+2xy+5{{y}^{2}}+39x\).

A. 100

B. 66

C. 110

D. 90

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:234082

Phương pháp giải

+) Từ giả thiết ta biến đổi để tìm được điều kiện của \(x\) (coi nó là một phương tình bậc hai ẩn \(y\))

+) Biến đổi để sử dụng phương pháp hàm số

Giải chi tiết

Theo giả thiết \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy+4=4y+3x\Leftrightarrow {{y}^{2}}+\left( x-4 \right)y+{{x}^{2}}-3x+4=0\)

Ta xem đây là phương trình bậc hai ẩn yvà khi đó điều kiện có nghiệm là :

\(\Delta ={{\left( x-4 \right)}^{2}}-4\left( {{x}^{2}}-3x+4 \right)=-3{{x}^{2}}+4x\ge 0\Leftrightarrow 0\le x\le \frac{4}{3}\)

Từ giả thiết suy ra \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+xy=3x+4y-4\). Khi đó :

\(P=3\left( x-y \right)\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)+20{{x}^{2}}+2xy+5{{y}^{2}}+39x=2\left( 12{{x}^{2}}-6{{y}^{2}}+16y+21x \right)-20\)

Đặt \(g\left( y \right)=-6{{y}^{2}}+16y+21x+12{{x}^{2}}\)(ta xem \(x\) là tham số)

Khi đó \(g\left( y \right)\le g\left( \frac{4}{3} \right)=12{{x}^{2}}+21x+\frac{32}{3}\) Do \(x\in \left[ 0;\frac{4}{3} \right]\) nên \(12{{x}^{2}}+21x+\frac{32}{3}\le 60\)

Suy ra \(g\left( y \right)\le 60\) Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(100\) khi \(x=y=\frac{4}{3}\)

Chọn A.

Chú ý khi giải

Đây là bài khó nhất trong đề thi yêu cầu các em phải nắm chắc được các kiến thức về hàm số bậc hai và phương pháp hàm số. Đồng thời phải có tư duy linh hoạt trong cách biến đổi và đánh giá.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.