Cho mặt cầu (S) bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của khối nón (N) là:

Câu 235308: Cho mặt cầu (S) bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của khối nón (N) là:

A. \(\frac{32\pi {{R}^{3}}}{81}\)

B. \(\frac{32{{R}^{3}}}{81}\)

C. \(\frac{32\pi {{R}^{3}}}{27}\)

D. \(\frac{32{{R}^{3}}}{27}\)

Câu hỏi : 235308

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Giả sử ta dựng được hính nón có đỉnh A và đáy là đường tròn có đường kính BC như hình vẽ, gọi H là trung điểm của BC .

Đặt \(OH=x\ \left( 0<x<R \right)\). biểu diễn AH và BH theo x, sử dụng công thức tính thể tích khối nón \(V=\frac{1}{3}\pi B{{H}^{2}}.AH\), tìm GTLN của V.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Giả sử ta dựng được hính nón có đỉnh A và đáy là đường tròn có đường kính BC như hình vẽ, gọi H là trung điểm của BC \(\Rightarrow AH\bot BC\)

Đặt \(OH=x\,\,\left( 0<x<R \right)\) ta có: \(BH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\) và \(AH=R+x\)

\(\Rightarrow {{V}_{n}}=\frac{1}{3}\pi B{{H}^{2}}.AH=\frac{1}{3}\pi \left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( R+x \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( R+x \right)=-{{x}^{3}}-R{{x}^{2}}+{{R}^{2}}x+{{R}^{3}}\) ta có :

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = - 3{x^2} - 2Rx + {R^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{R}{3}\\
x = - R\,\,\left( {ktm} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{R}{3}\\
f\left( {\frac{R}{3}} \right) = \left( {{R^2} - \frac{{{R^2}}}{9}} \right)\left( {R + \frac{R}{3}} \right) = \frac{{8{R^2}}}{9}.\frac{{4R}}{3} = \frac{{32{R^3}}}{{27}}\\
\Rightarrow {V_{{n_{\max }}}} = \frac{1}{3}\pi .\frac{{32{R^3}}}{{27}} = \frac{{32\pi {R^3}}}{{81}}
\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.