Cho mặt cầu (S) bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu
Cho mặt cầu (S) bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của khối nón (N) là:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Giả sử ta dựng được hính nón có đỉnh A và đáy là đường tròn có đường kính BC như hình vẽ, gọi H là trung điểm của BC .
Đặt \(OH=x\ \left( 0<x<R \right)\). biểu diễn AH và BH theo x, sử dụng công thức tính thể tích khối nón \(V=\frac{1}{3}\pi B{{H}^{2}}.AH\), tìm GTLN của V.
Giả sử ta dựng được hính nón có đỉnh A và đáy là đường tròn có đường kính BC như hình vẽ, gọi H là trung điểm của BC \(\Rightarrow AH\bot BC\)
Đặt \(OH=x\,\,\left( 0<x<R \right)\) ta có: \(BH=\sqrt{{{R}^{2}}-{{x}^{2}}}\) và \(AH=R+x\)
\(\Rightarrow {{V}_{n}}=\frac{1}{3}\pi B{{H}^{2}}.AH=\frac{1}{3}\pi \left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( R+x \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left( {{R}^{2}}-{{x}^{2}} \right)\left( R+x \right)=-{{x}^{3}}-R{{x}^{2}}+{{R}^{2}}x+{{R}^{3}}\) ta có :
\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = - 3{x^2} - 2Rx + {R^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{R}{3}\\
x = - R\,\,\left( {ktm} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{R}{3}\\
f\left( {\frac{R}{3}} \right) = \left( {{R^2} - \frac{{{R^2}}}{9}} \right)\left( {R + \frac{R}{3}} \right) = \frac{{8{R^2}}}{9}.\frac{{4R}}{3} = \frac{{32{R^3}}}{{27}}\\
\Rightarrow {V_{{n_{\max }}}} = \frac{1}{3}\pi .\frac{{32{R^3}}}{{27}} = \frac{{32\pi {R^3}}}{{81}}
\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
