Cho a,b,c là ba số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang chủ

Luyện thi vào lớp 10 môn toán

Hàm số bậc nhất

Câu hỏi số 23617:

$P = \frac{a + 3c}{a+2b+c}+\frac{4b}{a+b+2c}-\frac{8c}{a+b+3c}$

A. $17 + 12\sqrt{2}$

B. $17 - 12\sqrt{2}$

C. $-17 +12\sqrt{3}$

D. $-17 + 12\sqrt{2}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:23617

Giải chi tiết

Đặt $\left\{\begin{matrix} x = a + 2b + c\\ y = a+b+2c\\ z = a+b+3c \end{matrix}\right.$ , khi đó :

x,y,z > 0 và z - y = c , x - y = b - c = b - (z - y)

Suy ra b = x + z -2y và a + 3c = 2y - x

Khi đó $P =\frac{2y-x}{x}+ \frac{4(x+z-2y)}{y}-\frac{8(z-y)}{z}=$

= $-17 + ( 2.\frac{y}{x}+4.\frac{x}{y})+(4.\frac{z}{y}+8.\frac{y}{z})$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta được :

P ≥ $-17 +2\sqrt{8}+2\sqrt{32} = -17 + 12\sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\frac{2y}{x}=\frac{4x}{y}$ ; $\frac{4z}{y}=\frac{8y}{z}$ <=> 4x² = 2y² = z²

Khi đó : $\left\{\begin{matrix} a+b+2c= \sqrt{2}(a+2b+c)\\ a+b+3c= 2(a+2b+c) \end{matrix}\right.$

suy ra : $\left\{\begin{matrix} b = (1+\sqrt{2})a\\ c = (4+3\sqrt{2})a \end{matrix}\right.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = $-17 + 12\sqrt{2}$ đạt được khi $\left\{\begin{matrix} b = (1+\sqrt{2})a\\ c = (4+3\sqrt{2})a \end{matrix}\right.$

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link