Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc \(\left[ -2018;\ 2018 \right]\) để phương trình

Câu hỏi số 237761:

Vận dụng cao

Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc \(\left[ -2018;\ 2018 \right]\) để phương trình \({{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x+4=\left( m-1 \right)\sqrt{{{x}^{3}}+4x}\) có nghiệm là:

A. 2011

B. 2010

C. 2014

D. 2012

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237761

Giải chi tiết

Điều kiện: \(x\ge 0.\) Dễ thấy \(x=0\) không là nghiệm của phương trình.

Xét \(x>0,\) chia cả 2 vế của phương trình cho \(x\) ta được: \(\frac{{{x}^{2}}+4}{x}-\left( m-1 \right)\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+4}{x}}+m+2=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)

Đặt \(t=\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+4}{x}}\ge \sqrt{\frac{4x}{x}}=2\Rightarrow t\in \left[ 2;+\,\infty \right),\) khi đó phương trình \(\left( * \right)\,\,\Leftrightarrow \,\,{{t}^{2}}-\left( m-1 \right)t+m+2=0\)

Vì \(t\ge 2\Leftrightarrow t-1\ne 0\) nên phương trình \(\left( * \right)\)\(\Leftrightarrow {{t}^{2}}+t+2=m\left( t-1 \right)\Leftrightarrow m=\frac{{{t}^{2}}+t+2}{t-1}.\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}+t+2}{t-1}\) trên \(\left[ 2;+\,\infty \right),\) có \({f}'\left( t \right)=\frac{{{t}^{2}}-2t-3}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}\) suy ra \(\underset{\left[ 2;\,+\,\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=7.\)

Khi đó, để phương trình \(m=f\left( t \right)\) có nghiệm \(\Leftrightarrow \,\,m\ge \underset{\left[ 2;\,+\,\infty \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=7.\)

Kết hợp với \(m\in \left[ -\,2018;2018 \right]\) và \(m\in \mathbb{Z}\) suy ra có tất cả 2012 giá trị nguyên \(m.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.