Tính \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dt}{{{t}^{2}}+t+1}}\)

Câu hỏi số 237917:

Thông hiểu

A. \(I=\frac{\pi \sqrt{3}}{3}\)

B. \(I=\frac{\pi \sqrt{3}}{9}\)

C. \(I=-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}\)

D. Một kết quả khác.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237917

Phương pháp giải

\({{t}^{2}}+t+1={{\left( t+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\) , đặt \(t+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan x\)

Giải chi tiết

\(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dt}{{{t}^{2}}+t+1}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dt}{{{\left( t+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}}}\)

Đặt \(x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan x\Leftrightarrow dt=\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)dx\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\\t = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{3}\end{array} \right.\), khi đó ta có \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)dx}{\frac{3}{4}\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)}}=\left. \frac{2}{\sqrt{3}}t \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{\pi }{6}=\frac{\pi \sqrt{3}}{9}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.