Tính $I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dt}{{{t}^{2}}+t+1}}$

Câu hỏi số 237917:

Thông hiểu

I = \frac{π \sqrt{3}}{3}

$I=\frac{\pi \sqrt{3}}{3}$

I = \frac{π \sqrt{3}}{9}

$I=\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$

I = - \frac{π \sqrt{3}}{9}

$I=-\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$

D. Một kết quả khác.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237917

Phương pháp giải

${{t}^{2}}+t+1={{\left( t+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}$ , đặt $t+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan x$

Giải chi tiết

$I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dt}{{{t}^{2}}+t+1}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dt}{{{\left( t+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}}}$

Đặt $x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan x\Leftrightarrow dt=\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)dx$

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{6}\\t = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi }{3}\end{array} \right.$ , khi đó ta có $I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)dx}{\frac{3}{4}\left( 1+{{\tan }^{2}}x \right)}}=\left. \frac{2}{\sqrt{3}}t \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\frac{\pi }{6}=\frac{\pi \sqrt{3}}{9}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.