Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn \(\log {{u}_{1}}+\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}}=2\log

Câu hỏi số 238275:

Vận dụng cao

Cho dãy số \(\left( {{u}_{n}} \right)\) thỏa mãn \(\log {{u}_{1}}+\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}}=2\log {{u}_{10}}\) và \({{u}_{n\,+\,1}}=2{{u}_{n}}\) với mọi \(n\ge 1.\)

Giá trị nhỏ nhất của \(n\) để \({{u}_{n}}>{{5}^{100}}\) bằng

A. \(247.\)

B. \(248.\)

C. \(229.\)

D. \(290.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:238275

Phương pháp giải

+) Đặt \(t=\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}}\ge 0\Leftrightarrow \log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}={{t}^{2}}-2,\)

+) Sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân \({{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}\)

+) Thay u₁₀, tìm giá trị của n.

Giải chi tiết

Đặt \(t=\sqrt{2+\log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}}\ge 0\Leftrightarrow \log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}={{t}^{2}}-2,\) khi đó giả thiết trở thành:

\({t^2} - 2 + t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\
t = - 2\,\,\left( {ktm} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \log {u_1} - 2{\log _{{u_{10}}}} = 1 - 2 = - 1\)

\(\Rightarrow \) \(\log {{u}_{1}}-2\log {{u}_{10}}=-\,1\Leftrightarrow \log {{u}_{1}}+1=2\log {{u}_{10}}\Leftrightarrow \log \left( 10{{u}_{1}} \right)=\log {{\left( {{u}_{10}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow 10{{u}_{1}}={{\left( {{u}_{10}} \right)}^{2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Mà \({{u}_{n\,+\,1}}=2{{u}_{n}}\,\,\ge \,\,{{u}_{n}}\) là cấp số nhân với công bội \(q=2\Rightarrow \,\,{{u}_{10}}={{2}^{9}}{{u}_{1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \ \ \ \ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(10{{u}_{1}}={{\left( {{2}^{9}}{{u}_{1}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{2}^{18}}u_{1}^{2}=10{{u}_{1}}\Leftrightarrow {{u}_{1}}=\frac{10}{{{2}^{18}}}\Rightarrow {{u}_{n}}={{2}^{n\,-\,1}}.\frac{10}{{{2}^{18}}}=\frac{{{2}^{n}}.10}{{{2}^{19}}}.\)

Do đó \({{u}_{n}}>{{5}^{100}}\Leftrightarrow \frac{{{2}^{n}}.10}{{{2}^{19}}}>{{5}^{100}}\Leftrightarrow n>{{\log }_{2}}\left( \frac{{{5}^{100}}{{.2}^{19}}}{10} \right)=-\,{{\log }_{2}}10+100{{\log }_{2}}5+19\,\,\approx \,\,247,87.\)

Vậy giá trị \(n\) nhỏ nhất thỏa mãn là \(n=248.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.