Cho \(f\left( x \right) = {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {2\sqrt {{x^2} + 1} + 5} \right)\), biết \(F\left( x

Câu hỏi số 238363:

Vận dụng

Cho \(f\left( x \right) = {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {2\sqrt {{x^2} + 1} + 5} \right)\), biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 6.\) Tính \(F\left( {{3 \over 4}} \right)\)

A. \({{125} \over {16}}\)

B. \({{126} \over {16}}\)

C. \({{123} \over {16}}\)

D. \({{127} \over {16}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:238363

Phương pháp giải

\(f\left( x \right) = {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {2\sqrt {{x^2} + 1} + 5} \right) = 2x + {{5x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\)

Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \)

Giải chi tiết

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}\left( {2\sqrt {{x^2} + 1} + 5} \right) = 2x + {{5x} \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \cr & \Rightarrow F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = {x^2} + 5\int\limits_{}^{} {{x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} + C \cr} \)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 1} \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow tdt = xdx\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow \int\limits_{}^{} {{{tdt} \over t}} = \int\limits_{}^{} {dt} = t + C = \sqrt {{x^2} + 1} + C \cr & \Rightarrow F\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f\left( x \right)dx} = {x^2} + 5\sqrt {{x^2} + 1} + C \cr & \Rightarrow F\left( 0 \right) = 5 + C = 6 \Rightarrow C = 1 \cr & \Rightarrow F\left( x \right) = {x^2} + 5\sqrt {{x^2} + 1} + 1 \cr & \Rightarrow F\left( {{3 \over 4}} \right) = {9 \over {16}} + {{25} \over 4} + 1 = {{125} \over {16}} \cr} \)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.