Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z}^{2}}-2z+5 \right|=\left| \left( z-1+2i \right)\left( z-1+3i \right)

Câu hỏi số 239557:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {{z}^{2}}-2z+5 \right|=\left| \left( z-1+2i \right)\left( z-1+3i \right) \right|\) và \(w=z-2+2i\) giá trị nhỏ nhất của \(\left| w \right|\) bằng ?

\(\frac{3}{2}.\)

\(2.\)

\(1.\)

D. \(\frac{11}{8}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:239557

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đại số với việc đặt \(z=a+bi\,\,\,\,\left( a,\,\,b\in \mathbb{R} \right)\) để tìm min – max của môđun số phức

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l}{z^2} - 2z + 5 = {\left( {z - 1} \right)^2} + 4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {z - 1} \right)^2} - {\left( {2i} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z - 1 - 2i} \right)\end{array}\)

Do đó

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\left| {{z^2} - 2z + 5} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z - 1 - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z - 1 + 2i} \right)\left( {z + 3i - 1} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z - 1 + 2i} \right|.\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z - 1 + 2i} \right|.\left| {z + 3i - 1} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z - 1 + 2i} \right|\left( {\left| {z - 1 - 2i} \right| - \left| {z + 3i - 1} \right|} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {z - 1 + 2i} \right| = 0\\\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z + 3i - 1} \right|\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(\left| {z - 1 + 2i} \right| = 0 \Leftrightarrow z = 1 - 2i\).

Khi đó \(w = z - 2 + 2i = 1 - 2i - 2 + 2i = - 1\).

\( \Rightarrow \left| w \right| = \left| { - 1} \right| = 1.\)

TH2: \(\left| {z - 1 - 2i} \right| = \left| {z + 3i - 1} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| {x - 1 + \left( {y - 2} \right)i} \right| = \left| {x - 1 + \left( {y + 3} \right)i} \right|\) với \(z = x + yi{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right).\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow z = x - \dfrac{1}{2}i.\end{array}\)

Khi đó \(\left| w \right| = \left| {z - 2 + 2i} \right| = \left| {x - 2 + \dfrac{3}{2}i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + \dfrac{9}{4}} \ge \dfrac{3}{2}.\)

Vậy \(\min \left| w \right| = 1.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.