Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng

Câu hỏi số 239559:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{-\,1}\) và \({{d}_{2}}:\left\{ \begin{align} x=2-t \\ y=3-t \\ z=-\,2 \\ \end{align} \right..\) Mặt phẳng \(\left( P \right):x+by+cz+d=0\) (với \(b,\,\,c,\,\,d\in \mathbb{R}\)) vuông góc với đường thẳng \({{d}_{1}}\) và chắn \({{d}_{1}},\,\,{{d}_{2}}\) đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. Tổng \(b+c+d\) bằng

\(-\,7.\)

\(1.\)

\(-\,15.\)

D. \(-\,12.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:239559

Phương pháp giải

Khai thác tối đa dữ kiện của bài toán để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và thông qua bài toán tìm điểm xác định giá trị nhỏ nhất của độ dài đường thẳng

Giải chi tiết

Vì \(\left( P \right)\bot {{d}_{1}}\) suy ra \({{\vec{n}}_{\left( P \right)}}\)//\({{\vec{u}}_{{{d}_{1}}}}\)\(\Rightarrow \)\(\frac{1}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{-\,1}\Rightarrow \left\{ \begin{align} b=2 \\ c=-\,1 \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left( P \right):x+2y-z+d=0.\)

Gọi \(A\in {{d}_{1}}\Rightarrow A\left( a+1;2a+2;1-a \right)\) và \(B\in {{d}_{2}}\Rightarrow B\left( 2-m;3-m;-\,2 \right).\)

Mà \(A,\,\,B\in mp\,\,\left( P \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a + 1 + 2\left( {2a + 2} \right) - \left( {1 - a} \right) + d = 0\\2 - m + 2\left( {3 - m} \right) + 2 + d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6a + d + 4 = 0\left( 1 \right)\\ - 3m + d + 10 = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Lấy \(\left( 1 \right)-\left( 2 \right),\) ta được \(2a+m=2\Leftrightarrow m=2-2a\)\(\Rightarrow \)\(A{{B}^{2}}={{\left( 1-m-a \right)}^{2}}+{{\left( 1-m-2a \right)}^{2}}+{{\left( a-3 \right)}^{2}}\)

\(={{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( -\,1 \right)}^{2}}+{{\left( a-3 \right)}^{2}}=2{{a}^{2}}-8a+11=2{{\left( a-2 \right)}^{2}}+3\ge 3\Rightarrow AB\ge \sqrt{3}.\)

Dấu \(''\,\,=\,\,''\) xảy ra khi và chỉ khi \(a=2,\) thay vào \(\left( 1 \right),\) ta được \(d=-\,6a-4=-\,16.\)

Vậy tổng \(T=b+c+d=2-1-16=-\,15.\)

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.