Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(a,\,\,\,\widehat{BAC}={{60}^{0}},\) cạnh

Câu hỏi số 239560:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh bằng \(a,\,\,\,\widehat{BAC}={{60}^{0}},\) cạnh \(SC\) vuông góc với đáy và \(SC=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\) Tang của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) và \(\left( SAD \right)\) bằng

\(\frac{\sqrt{14}}{7}.\)

\(\frac{\sqrt{35}}{7}.\)

\(\frac{\sqrt{5}}{2}.\)

D. \(\frac{\sqrt{10}}{5}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:239560

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là tâm của hình thoi \(ABCD,\) kẻ \(\left\{ \begin{align} CK\bot SO\,\,\,\left( K\in SO \right) \\ AH\bot SO\,\,\,\left( H\in SO \right) \\ \end{align} \right.\)

Ta dễ dàng tính được BD = a, \(\text{AC=a}\sqrt{3}\)

Xét tam giác vuông SCO có :

\(CK=\frac{SC.CO}{\sqrt{S{{C}^{2}}+C{{O}^{2}}}}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}}=\frac{a}{\sqrt{2}}\)

\(\begin{align} \Rightarrow AH=CK=\frac{a}{\sqrt{2}};\,\,SO=\sqrt{S{{C}^{2}}+O{{C}^{2}}}=\frac{3a}{2} \\ OK=\frac{C{{O}^{2}}}{SO}=\frac{\frac{3{{a}^{2}}}{4}}{\frac{3a}{2}}=\frac{a}{2} \\ \Rightarrow SH=SO+OH=SO+OK=\frac{3a}{2}+\frac{a}{2}=2a. \\ \end{align}\)

Ta có : \(\left\{ \begin{align} BD\bot SC \\ BD\bot AC \\ \end{align} \right.\Rightarrow BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot AH\)

\(\left\{ \begin{align} AH\bot BD \\ AH\bot SO \\ \end{align} \right.\Rightarrow AH\bot \left( SBD \right)\Rightarrow AH\bot SD\)

Kẻ \(HE\)\(\bot \)\(SD\) ta có : \(\left\{ \begin{align} SD\bot AH \\ SD\bot HE \\\end{align} \right.\Rightarrow SD\bot \left( AHE \right)\Rightarrow SD\bot AE\) \(\Rightarrow\widehat{\left( SBD \right);\left( SAD \right)}=\widehat{\left( HE;AE \right)}=\widehat{HEA}.\)

Lại có \(SD=\sqrt{S{{C}^{2}}+C{{D}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{2}\Rightarrow HE.SD=DO.SH\Rightarrow HE=\frac{2a}{\sqrt{10}}.\)

Do đó, giá trị \(\tan \widehat{HEA}=\frac{AH}{HE}=\frac{\sqrt{5}}{2}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.