Gọi \(A\) là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho tập nghiệm của phương trình

Câu hỏi số 240934:

Vận dụng cao

Gọi \(A\) là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho tập nghiệm của phương trình \(x.\,{{2}^{x}}=x\left( x-m+1 \right)+m\left( {{2}^{x}}-1 \right)\) có hai phần tử. Tìm số phần tử của \(A.\)

A. 1

B. Vô số

C. 3

D. 2

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:240934

Phương pháp giải

Đưa về phương trình tích và ứng dụng đạo hàm giải phương trình mũ

Giải chi tiết

Ta có \(x.\,{{2}^{x}}=x\left( x-m+1 \right)+m\left( {{2}^{x}}-1 \right)\Leftrightarrow x{{.2}^{x}}={{x}^{2}}-mx+x+m{{.2}^{x}}-m.\)

\(\Leftrightarrow {{2}^{x}}\left( x-m \right)=\left( x+1 \right)\left( x-m \right)\)\(\Leftrightarrow \left({{2}^{x}}-x-1 \right)\left( x-m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} {{2}^{x}}-x-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \\ x-m=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \\ \end{align} \right.\)

Giải \(\left( 1 \right),\) đặt \(f\left( x \right)={{2}^{x}}-x-1.\) Xét hàm số \(f\left( x \right)={{2}^{x}}-x-1\) trên \(\mathbb{R},\) có \({f}'\left( x \right)={{2}^{x}}.\ln 2-1\)

Phương trình \({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{2}^{x}}=\frac{1}{\ln 2}\Leftrightarrow x={{\log }_{2}}\frac{1}{\ln 2}=-\,\,{{\log }_{2}}\left( \ln 2 \right).\)

\(\Rightarrow \)\(f\left( x \right)=0\) có nghiều nhất 2 nghiệm mà \(f\left( 0 \right)=f\left( 1 \right)=0\Rightarrow f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} x=0 \\ x=1 \\ \end{align} \right..\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \,\,\left( 2 \right)\) có nghiệm 1 hoặc 0.

Vậy \(m=\left\{ 0;\,\,1 \right\}\) là hai giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.