Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 3}} {{{{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^4}x}}dx} = {a \over b}\sqrt c

Câu hỏi số 241059:

Thông hiểu

Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi \over 3}} {{{{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^4}x}}dx} = {a \over b}\sqrt c \), trong đó \({a \over b}\) tối giản và \(a,b,c \in N\). Vậy tích \(abc\) gần bằng giá trị nào nhất?

A. 211

B. 121

C. 20

D. 50

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241059

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({1 \over {{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1\)

Đặt ẩn phụ \(t = \tan x\)

Giải chi tiết

\({{{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^4}x}} = {{{{\tan }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}}.{1 \over {{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right).{1 \over {{{\cos }^2}x}}\)

Đặt \(t = \tan x \Rightarrow dt = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}}\) , đổi cận \(\left\{ \matrix{ x = 0 \Rightarrow t = 0 \hfill \cr x = {\pi \over 3} \Rightarrow t = \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {{t^2}\left( {{t^2} + 1} \right)dt} = \int\limits_0^{\sqrt 3 } {\left( {{t^4} + {t^2}} \right)dt} = \left. {\left( {{{{t^5}} \over 5} + {{{t^3}} \over 3}} \right)} \right|_0^{\sqrt 3 } = {{9\sqrt 3 } \over 5} + \sqrt 3 = {{14} \over 5}\sqrt 3 \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = 14 \hfill \cr b = 5 \hfill \cr c = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow abc = 210\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.