Cho phương trình:\({{x}^{2}}-mx-1=0\) (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh phương trình (1) luôn

Câu hỏi số 241383:

Vận dụng

Cho phương trình:\({{x}^{2}}-mx-1=0\) (1) (x là ẩn số)

a) Chứng minh phương trình (1) luôn có 2 nghiệm.

b) Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình (1). Tính giá trị của biểu thức: \(P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{ 1}}-1}{x{{ }_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{x{{ }_{2}}}\)

A. P=4

B. P=3

C. P=6

D. P=0

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241383

Giải chi tiết

Phương trình: x² – mx – 1 = 0 có a = 1; b = -m; c = -1 Ta có: \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac={{\left( -m \right)}^{2}}-4.1.\left( -1 \right)={{m}^{2}}+4>0\) với mọi m.

\(\Rightarrow \)phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Cách 1: Theo hệ thức vi-et ta có: \(\left\{ \begin{align} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}=-\frac{-m}{1}=m \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1 \\ \end{align} \right.\)

Ta có:

\(\begin{align} P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{ 1}}-1}{x{{ }_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{x{{ }_{2}}} \\ =\frac{{{x}_{2}}.\left( x_{1}^{2}+{{x}_{ 1}}-1 \right)-{{x}_{1}}.\left( x_{2}^{2}+{{x}_{ 2}}-1 \right)}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\ =\frac{x_{1}^{2}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}.{{x}_{2}}-{{x}_{2}}-{{x}_{1}}.x_{2}^{2}{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\ =\frac{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}.\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)+{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\ =\frac{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right).\left( {{x}_{1}}.{{x}_{2}}+1 \right)}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\ ={{\frac{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right).\left( -1+1 \right)}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}}}^{{}}}{{^{{}}}^{{}}}{{^{{}}}^{{}}}{{^{{}}}^{{}}}\left( do{{:}^{{}}}^{{}}{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-1 \right) \\ =\frac{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right).0}{{{x}_{1}}.{{x}_{2}}} \\ =0 \\ \end{align}\)

Cách 2:

Do x₁ là nghiệm của (1) \(\Leftrightarrow \)\(x_{1}^{2}-m{{x}_{1}}-1=0\Leftrightarrow x_{1}^{2}=m{{x}_{1}}+1\) (*) Do x₂ là nghiệm của (1) \(\Leftrightarrow \) \(x_{2}^{2}-m{{x}_{2}}-1=0\Leftrightarrow x_{2}^{2}=m{{x}_{2}}+1\) (**) Thế (*) và (**) vào biểu thức \(P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{ 1}}-1}{x{{ }_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{x{{ }_{2}}}\)

Ta được:

\(\begin{align} P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{ 1}}-1}{x{{ }_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{x{{ }_{2}}} \\ =\frac{m{{x}_{1}}+1+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\frac{m{{x}_{2}}+1+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}} \\ =\frac{{{x}_{1}}\left( m+1 \right)}{{{x}_{1}}}-\frac{{{x}_{2}}\left( m+1 \right)}{{{x}_{2}}} \\ =\left( m+1 \right)-\left( m+1 \right) \\ =0 \\ \end{align}\)

Chú ý khi giải

Để chứng minh một phương trình bậc hai: ax² + bx + c = 0 (với a khác 0) ta phải chứng minh:

Biệt thức: \(\Delta ={{b}^{2}}-4ac>0\) với mọi m. Khi x₀ là nghiệm của phương trình: \(f\left( x \right)=0\) thì x₀ thỏa mãn: \(f\left( {{x}_{0}} \right)=0\) Khi một phương trình bậc hai: \(a{{x}^{2}}+bx+c=0\) (với \(a\ne 0\)) có hai nghiệm x₁, x₂

Theo hệ thức Vi-et, ta có: \(\left\{ \begin{align} {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} \\ {{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a} \\ \end{align} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link