Cho \(a\) là số thực dương. Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x

Câu hỏi số 242342:

Thông hiểu

Cho \(a\) là số thực dương. Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{e}^{x}}\left[ \ln \left( ax \right)+\frac{1}{x} \right]\) thỏa mãn \(F\left( \frac{1}{a} \right)=0\) và \(F\left( 2018 \right)={{e}^{2018}}.\)Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. \(a\in \left( \frac{1}{2018};1 \right).\)

B. \(a\in \left( 0;\frac{1}{2018} \right].\)

C. \(a\in \left[ 1;2018 \right).\)

D. \(a\in \left[ 2018;+\,\infty \right).\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242342

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp từng phần tìm nguyên hàm của hàm số.

Giải chi tiết

Đặt

\(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln \left( {ax} \right)\\
dv = {e^x}\,{\rm{d}}x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = {e^x}
\end{array} \right.\)

suy ra \(\int{{{e}^{x}}\,\ln \left( ax \right)\,\text{d}x}={{e}^{x}}.\ln \left( ax \right)-\int{\frac{{{e}^{x}}}{x}\,dx}.\)

\(\Rightarrow \int{f\left( x \right)\,dx}=\int{{{e}^{x}}}\ln \left( ax \right)dx+\int{\frac{{{e}^{x}}}{x}dx}={{e}^{x}}.\ln \left( ax \right)+C\)

Do đó \(F\left( x \right)={{e}^{x}}.\ln \left( ax \right)+C\) mà

\(\left\{ \begin{array}{l}
F\left( {\frac{1}{a}} \right) = 0\\
F\left( {2018} \right) = {e^{2018}}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
C = 0\\
{e^{2018}}.\ln \left( {2018a} \right) = {e^{2018}}
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
C = 0\\
\ln \left( {2018a} \right) = 1
\end{array} \right. \Rightarrow 2018a = e \Leftrightarrow a = \frac{e}{{2018}}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.