Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) của hàm số \(f\left( x

Câu hỏi số 242356:

Thông hiểu

Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm trên \(\mathbb{R}\) của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{2017x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2018}}}\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right)=0.\) Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của \(F\left( x \right).\)

A. \(m=-\frac{1}{2}.\)

B. \(m=\frac{1-{{2}^{2017}}}{{{2}^{2018}}}.\)

C. \(m=\frac{{{2}^{2017}}+1}{{{2}^{2018}}}.\)

D. \(m=\frac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242356

Phương pháp giải

Xác định nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và tìm min thông qua đánh giá.

Giải chi tiết

Ta có \(F\left( x \right)=\int{f\left( x \right)\,\text{d}x}=\int{\frac{2017x}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2018}}}\text{d}x}=\frac{2017}{2}\int{\frac{\text{d}\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2018}}}}=-\frac{1}{2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2017}}}+C.\)

Mà \(F\left( 1 \right)=0\) \(\xrightarrow{{}}\) \(C-\frac{1}{{{2}^{2018}}}=0\Leftrightarrow C=\frac{1}{{{2}^{2018}}}.\) Khi đó \(F\left( x \right)=-\frac{1}{2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2017}}}+\frac{1}{{{2}^{2018}}}.\)

Mặt khác \({{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2017}}\ge 1\Leftrightarrow -\frac{1}{2{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2017}}}\ge -\,\frac{1}{2}\) suy ra \(F\left( x \right)\ge -\,\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2018}}}\Rightarrow m=\frac{1-{{2}^{2017}}}{{{2}^{2018}}}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.