Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\)

Câu hỏi số 242436:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{3}\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( {{x^2}} \right)dx} \).

A. \(I = \frac{4}{3}\)

B. \(I = - \frac{2}{3}\)

C. \(I = \frac{1}{3}\)

D. \(I = \frac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:242436

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt \(t = {x^2}\), sau đó sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Leftrightarrow xdx = \frac{{dt}}{2}\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(I = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {t.f'\left( t \right)dt} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = t\\dv = f'\left( t \right)dt\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dt\\v = f\left( t \right)\end{array} \right. \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left[ {\left. {t.f\left( t \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right] = \frac{1}{2}\left[ {f\left( 1 \right) - \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} } \right] = \frac{1}{2}.\left( {1 - \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{3}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.